In der Newtonschen Mechanik lässt sich für eine eindimensionale einfache harmonische Bewegung die Bewegungsgleichung, die eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist, mit Hilfe des 2. Newtonschen Gesetzes und des Hookeschen Gesetzes für eine Masse auf einer Feder erhalten.

F n e t = m d 2 x d t 2 = – k x , {\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}

wobei m die träge Masse des schwingenden Körpers, x seine Verschiebung aus der Gleichgewichtslage (oder mittleren Lage) und k eine Konstante (die Federkonstante für eine Masse an einer Feder) ist.

Daher gilt,

d 2 x d t 2 = – k m x , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x,}

Die Lösung der obigen Differentialgleichung ergibt eine Lösung, die eine Sinusfunktion ist:

x ( t ) = c 1 cos ( ω t ) + c 2 sin ( ω t ) , {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),\qquad }

wobei ω = k m . {displaystyle \qquad \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}.}

Die Bedeutung der Konstanten c 1 {\displaystyle c_{1}}

und c 2 {\displaystyle c_{2}}

können leicht gefunden werden: Setzen Sie t = 0 {\displaystyle t=0}

auf die obige Gleichung sehen wir, dass x ( 0 ) = c 1 {\displaystyle x(0)=c_{1}}

, so dass c 1 {\displaystyle c_{1}}

die Anfangslage des Teilchens ist, c 1 = x 0 {\displaystyle c_{1}=x_{0}}

; nimmt man die Ableitung dieser Gleichung und wertet nach Null aus, erhält man x ˙ ( 0 ) = ω c 2 {\displaystyle {\dot {x}}(0)=\omega c_{2}}

, so dass c 2 {\displaystyle c_{2}}

die Anfangsgeschwindigkeit des Teilchens geteilt durch die Kreisfrequenz ist, c 2 = v 0 ω {\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}

. Wir können also schreiben: x ( t ) = x 0 cos ( k m t ) + v 0 k m sin ( k m t ) . {\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}t\right).}

Diese Gleichung kann auch in der Form geschrieben werden:

x ( t ) = A cos ( ω t – φ ) , {\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}

wobei

A = c 1 2 + c 2 2 , tan φ = c 2 c 1 , {\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},\qquad \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}},}

In der Lösung, c1 und c2 sind zwei Konstanten, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden (insbesondere ist die Anfangsposition zum Zeitpunkt t = 0 c1, während die Anfangsgeschwindigkeit c2ω ist), und der Ursprung wird auf die Gleichgewichtsposition gesetzt. Jede dieser Konstanten trägt eine physikalische Bedeutung der Bewegung: A ist die Amplitude (maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage), ω = 2πf ist die Kreisfrequenz und φ ist die Anfangsphase.

Mit den Techniken der Infinitesimalrechnung lassen sich die Geschwindigkeit und die Beschleunigung als Funktion der Zeit ermitteln:

v ( t ) = d x d t = – A ω sin ( ω t – φ ) , {\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),}

Geschwindigkeit:

ω A 2 – x 2 {\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}

Maximalgeschwindigkeit: v=ωA (im Gleichgewichtspunkt)

a ( t ) = d 2 x d t 2 = – A ω 2 cos ( ω t – φ ) . {\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}

Maximale Beschleunigung: Aω2 (an Extrempunkten)

Wenn eine Masse m unter SHM steht, ist ihre Beschleunigung per Definition direkt proportional zur Verschiebung.

a ( x ) = – ω 2 x . {\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}