Gedämpfte harmonische Bewegung
Mit der Zeit wird die Bewegung des gedämpften harmonischen Oszillators zum Stillstand gebracht.
Lernziele
Beschreiben Sie die zeitliche Entwicklung der Bewegung des gedämpften harmonischen Oszillators
Key Takeaways
Key Points
- Um einen gedämpften harmonischen Oszillator zu beschreiben, fügen Sie einen geschwindigkeitsabhängigen Term, bx, hinzu, wobei b der bösartige Dämpfungskoeffizient ist.
- Lösen Sie die Differentialgleichung für die Bewegungsgleichung x(t).
- Abhängig von den Werten des Dämpfungskoeffizienten und der ungedämpften Kreisfrequenz ergibt sich einer von drei Fällen: ein untergedämpftes System, ein übergedämpftes System oder ein kritisch gedämpftes System.
Schlüsselbegriffe
- Untergedämpft: „Der Zustand, in dem die Dämpfung eines Oszillators dazu führt, dass er zum Gleichgewicht zurückkehrt, wobei die Amplitude allmählich auf Null abnimmt; das System kehrt schneller zum Gleichgewicht zurück, überschwingt aber und durchquert die Gleichgewichtslage ein oder mehrere Male. „
- Kritisch gedämpft: „Der Zustand, in dem die Dämpfung eines Oszillators bewirkt, dass er so schnell wie möglich in seine Gleichgewichtslage zurückkehrt, ohne um diese Lage hin und her zu schwingen. „
- Überdämpft: „Der Zustand, in dem die Dämpfung eines Oszillators bewirkt, dass er in die Gleichgewichtslage zurückkehrt, ohne um diese Lage hin und her zu schwingen; der Oszillator bewegt sich langsamer in Richtung des Gleichgewichts als im kritisch gedämpften System. „
Die physikalische Situation
Der einfache harmonische Oszillator beschreibt viele physikalische Systeme auf der ganzen Welt, aber frühe Studien der Physik betrachten meist nur ideale Situationen, die keine Reibung beinhalten. In der realen Welt werden jedoch Reibungskräfte – wie der Luftwiderstand – die Bewegung eines Objekts verlangsamen oder dämpfen. Manchmal sind diese Dämpfungskräfte stark genug, um ein Objekt mit der Zeit wieder ins Gleichgewicht zu bringen.
Gedämpfte harmonische Bewegung: Veranschaulichung der Position gegen die Zeit unseres Objekts, das sich in einer einfachen harmonischen Bewegung bewegt. Wir sehen, dass bei kleiner Dämpfung die Amplitude unserer Bewegung mit der Zeit langsam abnimmt.
Der einfachste und am häufigsten beobachtete Fall tritt auf, wenn die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit eines Objekts ist. Beachten Sie, dass es auch andere Fälle gibt, die zu nichtlinearen Gleichungen führen können, die den Rahmen dieses Beispiels sprengen würden.
Betrachten Sie ein Objekt der Masse m, das an einer Feder der Konstante k befestigt ist. Wir können diese Situation mit Hilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes beschreiben, das zu einer linearen, homogenen, gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung führt. Wir fügen einfach einen Term, der die Dämpfungskraft beschreibt, zu unserer bereits bekannten Gleichung hinzu, die einen einfachen harmonischen Oszillator beschreibt, um den allgemeinen Fall einer gedämpften harmonischen Bewegung zu beschreiben.
\begin{array}{\text{lcl}} \text{F}_{\text{net}}&&\text{m} \frac{\text{d}^{2}\text{x}}{\text{dt}^2} + \text{b}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \text{kx} = 0 \\\ && \frac{\text{d}^2\text{x}}{\text{dt}^2} + \frac{\text{b}}{\text{m}}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \frac{\text{k}}{\text{m}}\text{x} = 0 \\\ &&\frac{\text{d}^2\text{x}}{\text{dt}^2} + \gamma \frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \omega_0^2 \text{x} = 0 \\\ \end{array} \\omega_0^2 = \frac{\text{k}}{\text{m}}, \gamma = \frac{\text{b}}{\text{m}}
Diese Notation verwendet \frac{\text{d}^2\text{x}}{\text{dt}^2}, die Beschleunigung unseres Objekts, \frac{\text{dx}}{\text{dt}}, die Geschwindigkeit unseres Objekts, \omega_0, die ungedämpfte Winkelfrequenz der Schwingung, und ɣ, das wir als Dämpfungsgrad bezeichnen können.
Lösen der Differentialgleichung; Interpretieren der Ergebnisse
Wir lösen diese Differentialgleichung für unsere Bewegungsgleichung des Systems, x(t). Wir nehmen eine Lösung in Form eines Exponentials an, wobei a ein konstanter Wert ist, den wir lösen werden.
\text{x}(\text{t}) = \text{e}^{\text{at}}
Wenn wir dies in die Differentialgleichung einsetzen, finden wir, dass es drei Ergebnisse für a gibt, die die Bewegung unseres Systems bestimmen. Wir können a mit Hilfe der quadratischen Gleichung lösen.
\begin{array}{\text{lcl}} \text{F}_{\text{net}}&&\text{a}^{2} \text{x} + \gamma \text{a} \text{x} + \omega_0^2 \text{x} = 0 \\\ && \text{a}^{2} + \gamma \text{a} + \omega_0^2 = 0 \\end{array}
\text{a} = \frac{\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 – 4 \omega_0^2}}{2}
Die physikalische Situation hat drei mögliche Ergebnisse, die vom Wert von a abhängen, der vom Wert dessen abhängt, was unter unserem Radikal steht. Dieser Ausdruck kann positiv, negativ oder gleich Null sein, was zu Überdämpfung, Unterdämpfung bzw. kritischer Dämpfung führt.
gamma^2 > 4\omega_0^2 ist der Fall der Überdämpfung. In diesem Fall kehrt das System zum Gleichgewicht zurück, indem es exponentiell gegen Null abklingt. Das System wird die Gleichgewichtslage nicht mehr als einmal durchlaufen.
\gamma^2 < 4\omega_0^2 ist der Under Damped Fall. In diesem Fall schwingt das System, während es langsam zum Gleichgewicht zurückkehrt und die Amplitude mit der Zeit abnimmt. Abbildung 1 zeigt einen unterdämpften Fall.
\gamma^2 = 4\omega_0^2 ist der kritisch gedämpfte Fall. In diesem Fall kehrt das System sehr schnell ins Gleichgewicht zurück, ohne zu schwingen und ohne die Gleichgewichtslage überhaupt zu passieren.