Grundlagen der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Wahrscheinlichkeit beschäftigt, dass bestimmte Ergebnisse eintreten. Es gibt fünf Grundregeln oder Axiome, die man verstehen muss, wenn man die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung studiert.

In der diskreten Wahrscheinlichkeitsrechnung gehen wir von einem wohldefinierten Experiment aus, z. B. dem Werfen einer Münze oder dem Würfeln eines Würfels. Jedes einzelne Ergebnis, das eintreten könnte, wird als Ausgang bezeichnet. Die Menge aller Ergebnisse wird als Stichprobenraum bezeichnet, und jede Teilmenge des Stichprobenraums wird als Ereignis bezeichnet.

Betrachten wir zum Beispiel das Experiment des zweimaligen Werfens einer Münze. Es gibt vier einzelne Ergebnisse, nämlich \text{HH},\text{HT},\text{TH},\text{TT}. Der Stichprobenraum ist also \{\text{HH},\text{HT},\text{TH},\text{TT}\}. Das Ereignis „mindestens ein Kopf kommt vor“ wäre die Menge \{\text{HH},\text{HT},\text{TH}\}. Wäre die Münze eine normale Münze, würden wir jedem Ergebnis die Wahrscheinlichkeit von 1/4 zuordnen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Wahrscheinlichkeit \text{P} eines Ereignisses \text{E}, bezeichnet als \text{P}\links(\text{E}\rechts), normalerweise so definiert, dass \text{P} eine Reihe von Axiomen oder Regeln erfüllt. Die grundlegendsten und wichtigsten Regeln sind im Folgenden aufgeführt.

Wahrscheinlichkeitsregeln

Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl. Sie ist immer größer als oder gleich Null und kleiner als oder gleich Eins. Sie kann als 0\leq{\text{P}}\left(\text{A}\right)\geq{1} geschrieben werden. Ein unmögliches Ereignis oder ein Ereignis, das nie eintritt, hat eine Wahrscheinlichkeit von 0. Ein Ereignis, das immer eintritt, hat eine Wahrscheinlichkeit von 1. Ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 wird in der Hälfte der Fälle eintreten.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Möglichkeiten muss gleich 1 sein. Irgendein Ergebnis muss bei jedem Versuch eintreten, und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 100%, oder in diesem Fall 1. Dies kann als \text{P}\left(\text{S}\right)=1 geschrieben werden, wobei \text{S} den gesamten Stichprobenraum darstellt.

Wenn zwei Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das eine oder das andere eintritt, die Summe ihrer individuellen Wahrscheinlichkeiten. Wenn ein Ereignis in 30 % der Versuche auftritt, ein anderes Ereignis in 20 % der Versuche auftritt und die beiden nicht zusammen auftreten können (wenn sie disjunkt sind), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das eine oder das andere Ereignis auftritt, 30 %+20 %=50 %. Dies wird manchmal auch als Additionsregel bezeichnet und kann wie folgt vereinfacht werden: \text{P}\left({\text{A}} \text{ oder} {\text{B}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right). Das Wort „oder“ bedeutet in der Mathematik dasselbe wie die Vereinigung, die das folgende Symbol verwendet: \cup. Wenn also \text{A} und \text{B} disjunkt sind, haben wir \text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt. Wenn ein Ereignis in 60 % aller Versuche eintritt, tritt es in den anderen 40 % nicht ein, da 100 %-60 %=40 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, und die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt, addieren sich immer zu 100 %, also zu 1. Diese Ereignisse werden als komplementäre Ereignisse bezeichnet, und diese Regel wird manchmal auch als Komplementärregel bezeichnet. Sie kann vereinfacht werden mit \text{P}\left(\text{A}^\text{c}\right)=1-\text{P}\left(\text{A}\right), wobei \text{A}^\text{c} das Komplement von \text{A} ist.

Zwei Ereignisse \text{A} und \text{B} sind unabhängig, wenn das Wissen, dass das eine eintritt, die Wahrscheinlichkeit, dass das andere eintritt, nicht ändert. Dies wird oft als die Multiplikationsregel bezeichnet. Wenn \text{A} und \text{B} unabhängig sind, dann ist \text{P}\left(\text{A} \text{ und} \text{B}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right). Das Wort „und“ bedeutet in der Mathematik dasselbe wie die Schnittmenge, die das folgende Symbol verwendet: \cap. Wenn also \text{A} und \text{B} unabhängig sind, haben wir \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right).

Erweiterung des Beispiels

Weiterführend zu unserem obigen Beispiel des Werfens zweier Münzen, weisen wir jedem der 4 Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit 1/4 zu. Wir betrachten jede der fünf obigen Regeln im Zusammenhang mit diesem Beispiel.

1. Beachten Sie, dass jede Wahrscheinlichkeit 1/4 ist, was zwischen 0 und 1 liegt.

2. Beachten Sie, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ist, da \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1.

3. Nehmen wir an, \text{A} ist das Ereignis, bei dem genau ein Kopf auftritt, und B ist das Ereignis, bei dem genau zwei Schwänze auftreten. Dann sind \text{A}=\{\text{HT},\text{TH}\} und \text{B}=\{\text{TTT}\} disjunkt. Außerdem ist \text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right).

4. Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Kopf auftritt, ist 1/4, was gleich 1-3/4 ist. Wenn also \text{A}=\{\text{HT},\text{TH},\text{HH}\} das Ereignis ist, dass ein Kopf auftritt, haben wir \text{P}\left(\text{A}^\text{c}\right)=\frac{1}{4}=1-\frac{3}{4}=1-\text{P}\left(\text{A}\right).

5. Wenn \text{A} das Ereignis ist, dass der erste Wurf Kopf ist und \text{B} das Ereignis, dass der zweite Wurf Kopf ist, dann sind \text{A} und\text{B} unabhängig. Wir haben \text{A}=\{\text{HT},\text{HH}} und \text{B}={\text{TH},\text{HH}} und \text{A}={\text{B}}={\text{HH}}. Note that \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right).

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintreten wird, wenn ein anderes Ereignis eingetreten ist.

Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraussetzung, dass A eingetreten ist

Unsere Einschätzung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann sich ändern, wenn wir wissen, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist. Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein geworfener Würfel eine 2 zeigt, ohne weitere Informationen 1/6, aber wenn jemand den Würfel ansieht und Ihnen sagt, dass es sich um eine gerade Zahl handelt, ist die Wahrscheinlichkeit nun 1/3, dass es sich um eine 2 handelt. Die Notation \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right) zeigt eine bedingte Wahrscheinlichkeit an, d. h. sie gibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung an, dass wir wissen, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist. Der Balken „\mid“ kann als „gegeben“ gelesen werden, so dass \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right) als „die Wahrscheinlichkeit von \text{B} unter der Voraussetzung, dass \text{A} eingetreten ist“ gelesen wird.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right) eines Ereignisses \text{B}, gegeben ein Ereignis \text{A}, ist definiert durch:

\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{A}\right)}

Wenn \text{P}\left(\text{A}\right)>0. Achten Sie darauf, dass Sie sich die unterschiedlichen Rollen von \text{B} und \text{A} in dieser Formel merken. Die Menge nach dem Balken ist diejenige, von der wir annehmen, dass sie eingetreten ist, und ihre Wahrscheinlichkeit steht im Nenner der Formel.

Unabhängigkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right) ist nicht immer gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit \text{P}\left(\text{B}\right). Der Grund dafür ist, dass das Eintreten des Ereignisses \text{A} zusätzliche Informationen liefern kann, die die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis \text{B} eintritt, ändern können. Wenn das Wissen, dass das Ereignis \text{A} eintritt, die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis \text{B} eintritt, nicht ändert, dann sind \text{A} und \text{B} unabhängige Ereignisse, und somit ist \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)=\text{P}\left(\text{B}\right).

Bayes‘ Theorem

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist das Bayes’sche Theorem (alternativ Bayes’sches Gesetz oder Bayes’sche Regel) ein Ergebnis, das bei der mathematischen Behandlung von bedingten Wahrscheinlichkeiten von Bedeutung ist. Es lässt sich aus den Grundaxiomen der Wahrscheinlichkeit ableiten.

Mathematisch gibt der Satz von Bayes den Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeiten von \text{A} und \text{B}, \text{P}\left(\text{A}\right) und \text{P}\left(\text{B}\right), und den bedingten Wahrscheinlichkeiten von \text{A} bei \text{B} und \text{B} bei \text{A} an. In seiner gebräuchlichsten Form lautet er:

\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}

Dies kann in dieser alternativen symmetrischen Form einfacher zu merken sein:

\frac{\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)}=\frac{\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}

Vereinigung und Schnittmenge

Vereinigung und Schnittmenge sind zwei Schlüsselbegriffe der Mengenlehre und der Wahrscheinlichkeit.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet die mathematischen Ideen von Mengen, wie wir bei der Definition sowohl des Stichprobenraums eines Experiments als auch bei der Definition eines Ereignisses gesehen haben. Um grundlegende Wahrscheinlichkeitsberechnungen durchführen zu können, müssen wir die Ideen aus der Mengenlehre in Bezug auf die Mengenoperationen Vereinigung, Schnittmenge und Komplement wiederholen.

Vereinigung

Die Vereinigung von zwei oder mehr Mengen ist die Menge, die alle Elemente jeder der Mengen enthält; ein Element ist in der Vereinigung, wenn es zu mindestens einer der Mengen gehört. Das Symbol für Vereinigung ist \cup und ist mit dem Wort „oder“ verbunden, weil \text{A}\cup{\text{B}} die Menge aller Elemente ist, die in \text{A} oder \text{B} sind (oder beides). (oder beides.) Um die Vereinigung zweier Mengen zu finden, listen Sie die Elemente auf, die in einer (oder beiden) Mengen enthalten sind. In Form eines Venn-Diagramms kann die Vereinigung der Mengen \text{A} und \text{B} als zwei vollständig schattierte, ineinandergreifende Kreise dargestellt werden.

In Symbolen, da die Vereinigung von \text{A} und \text{B} alle Punkte enthält, die in \text{A} oder \text{B} oder in beiden sind, lautet die Definition der Vereinigung:

\text{A}\cup{\text{B}}=\{\text{x}:\text{x}\in{\text{A}} \text{ oder } \text{x}\in{\text{B}}

Zum Beispiel, wenn \text{A}=\{1,3,5,7\} und \text{B}=\{1,2,4,6\} , dann ist \text{A}\cup{\text{B}}=\{1,2,3,4,5,6,7\}. Beachten Sie, dass das Element 1 nicht zweimal in der Vereinigung aufgeführt ist, obwohl es in beiden Mengen \text{A} und \text{B} erscheint. Dies führt uns zu der allgemeinen Additionsregel für die Vereinigung zweier Ereignisse:

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)−\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)

Wobei \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right) die Schnittmenge der beiden Mengen ist. Wir müssen dies abziehen, um eine doppelte Zählung der Einbeziehung eines Elements zu vermeiden.

Wenn die Mengen \text{A} und \text{B} disjunkt sind, hat das Ereignis \text{A}\cap{\text{B}} jedoch keine Ergebnisse in sich und ist eine leere Menge mit der Bezeichnung ∅, die eine Wahrscheinlichkeit von Null hat. Die obige Regel kann also nur für disjunkte Mengen verkürzt werden:

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)

Dies kann sogar auf mehrere Mengen erweitert werden, wenn sie alle disjunkt sind:

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\cup{\text{C}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)+\text{P}\left(\text{C}\right)

Schnittmenge

Die Schnittmenge von zwei oder mehr Mengen ist die Menge der Elemente, die jeder der Mengen gemeinsam sind. Ein Element ist in der Schnittmenge, wenn es zu allen der Mengen gehört. Das Symbol für Schnittmenge ist \cap und wird mit dem Wort „und“ assoziiert, da \text{A}\cap{\text{B}} die Menge der Elemente ist, die gleichzeitig in \text{A} und \text{B} sind. Um die Schnittmenge von zwei (oder mehr) Mengen zu finden, schließen Sie nur die Elemente ein, die in beiden (oder allen) der Mengen enthalten sind. In Form eines Venn-Diagramms kann die Schnittmenge zweier Mengen \text{A} und \text{B} am schattierten Bereich in der Mitte zweier ineinandergreifender Kreise dargestellt werden.

In der mathematischen Notation wird die Schnittmenge von \text{A} und \text{B} als \text{A}\cap{\text{B}}=\{\text{x}:\text{x}\in{\text{A}} und \text{x}\in{\text{B}} geschrieben.} Wenn zum Beispiel \text{A}=\{1,3,5,7\} und \text{B}=\{1,2,4,6\} ist, dann ist \text{A}\cap{\text{B}}=\{1\}, weil 1 das einzige Element ist, das in beiden Mengen \text{A} und \text{B} vorkommt.

Wenn Ereignisse unabhängig sind, was bedeutet, dass der Ausgang eines Ereignisses keinen Einfluss auf den Ausgang eines anderen Ereignisses hat, können wir die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse verwenden, die besagt:

Text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right)

Angenommen, wir werfen zweimal eine Münze und wollen die Wahrscheinlichkeit wissen, dass wir zweimal Kopf werfen. Da der erste Wurf keinen Einfluss auf den zweiten Wurf hat, sind die Ereignisse unabhängig. Angenommen, das Ereignis des ersten Wurfs ist Kopf und das Ereignis des zweiten Wurfs ist Kopf, dann ist \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Komplementäre Ereignisse

Das Komplement von \text{A} ist das Ereignis, in dem \text{A} nicht vorkommt.

Was sind komplementäre Ereignisse?

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Komplement eines beliebigen Ereignisses \text{A} das Ereignis , d.h. das Ereignis, bei dem \text{A} nicht eintritt. Das Ereignis \text{A} und sein Komplement schließen sich gegenseitig aus und sind erschöpfend, was bedeutet, dass wenn das eine eintritt, das andere nicht eintritt, und dass beide Gruppen alle Möglichkeiten abdecken. Im Allgemeinen gibt es nur ein Ereignis \text{B}, bei dem sich \text{A} und \text{B} gegenseitig ausschließen und erschöpfend sind; dieses Ereignis ist das Komplement von \text{A}. Das Komplement eines Ereignisses \text{A} wird gewöhnlich als \text{A}′, \text{A}^c oder \bar{\text{A}} bezeichnet.