Euklid, Darstellung der Geometrie in „Die Schule von Athen“, von Raffaello Sanzio (Public Domain)

Zum Messen von Grenzen und zum Errichten von Gebäuden muss der Mensch einen eingebauten Mechanismus und Instinkt haben, um Abstände, Winkel und Höhen zu beurteilen. Mit der Entwicklung der Zivilisationen wurden diese Instinkte durch Beobachtungen und Verfahren ergänzt, die aus Erfahrung, Experimenten und Intuition gewonnen wurden. Die Babylonier waren sicherlich geschickte Geometer, und die Ägypter entwickelten eine reichhaltige und komplexe Mathematik, die auf Vermessungen basierte. Beide dieser Kulturen gaben ihre Informationen an die Griechen weiter.

Der Beginn der griechischen Geometrie

Die Ägypter und die Babylonier waren nicht wirklich daran interessiert, Axiome und zugrundeliegende Prinzipien für die Geometrie herauszufinden. Ihr Ansatz war sehr pragmatisch und zielte sehr auf praktische Anwendungen ab. Die Babylonier zum Beispiel gingen davon aus, dass Pi genau 3 ist, und sahen keinen Grund, dies zu ändern. Die ägyptischen Mathematiker hatten keine Struktur in ihrer Geometrie, sondern nur eine Sammlung von Regeln und Lösungen, die auf bestimmte Umstände abzielten, wie zum Beispiel die Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfes. Sie benutzten auch Trigonometrie zu diesem Zeitpunkt, in der Entwicklung einer Untermenge der Geometrie, für Vermessungen und zum Messen der Dimensionen von Pyramiden.

Diese Kulturen schienen keine deduktiven Schlussfolgerungen zu benutzen, um geometrische Techniken aus ersten Prinzipien zu entdecken. Stattdessen benutzten sie Versuch und Irrtum, und wenn eine Lösung nicht ohne weiteres verfügbar war, benutzten sie Versuch und Irrtum, um zu einer Annäherung zu gelangen. Diese Kulturen legten jedoch die Grundlagen der griechischen Geometrie und beeinflussten die Griechen, die eine deduktive Methodik in die Geometrie einbrachten und versuchten, elegante Regeln zu finden, die dem Feld zugrunde lagen.

Frühe griechische Geometrie

Thales von Milet (Public Domain)

Die Frühgeschichte der griechischen Geometrie ist unklar, weil keine originalen Informationsquellen erhalten sind und unser gesamtes Wissen aus Sekundärquellen stammt, die viele Jahre nach der Frühzeit geschrieben wurden. Dennoch können wir uns einen guten Überblick verschaffen und auch einen Blick auf einige der großen Namen werfen, die griechischen Mathematiker, die den Verlauf der griechischen Geometrie prägen sollten.

Der erste und einer der größten Namen ist Thales von Milet, ein Mathematiker, der im 6. Jahrhundert v. Chr. lebte. Er gilt als der Vater der Geometrie und begann den Prozess der Deduktion aus ersten Prinzipien zu nutzen. Es wird angenommen, dass er nach Ägypten und Babylon reiste und geometrische Techniken von diesen Kulturen aufnahm, und er hatte sicherlich Zugang zu deren Arbeiten.

Thales glaubte fest daran, dass logisches Denken Experimente und Intuition ersetzen sollte, und begann nach soliden Prinzipien zu suchen, auf denen er Theoreme aufbauen konnte. Damit führte er die Idee des Beweises in die Geometrie ein und schlug einige Axiome vor, die er für mathematische Wahrheiten hielt.

• Ein Kreis wird durch jeden seiner Durchmesser halbiert
• Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich
• Wenn sich zwei Geraden schneiden, sind die gegenüberliegenden Winkel gleich
• Ein Winkel in einem Halbkreis ist ein rechter WinkelKreis gezeichnet wird, ist ein rechter Winkel
• Zwei Dreiecke mit einer gleichen Seite und zwei gleichen Winkeln sind kongruent

Thales wird die Erfindung einer Methode zugeschrieben, mit der er die Höhe eines Schiffes auf See bestimmen konnte, eine Technik, die er zur Freude der Ägypter auch zur Messung der Höhe einer Pyramide verwendete. Dazu musste er die Proportionen und möglicherweise die Regeln für ähnliche Dreiecke verstehen, eine der Grundvoraussetzungen für Trigonometrie und Geometrie.

Es ist unklar, wie Thales genau entschied, dass die oben genannten Axiome unwiderlegbare Beweise waren, aber sie wurden in den Korpus der griechischen Mathematik aufgenommen und der Einfluss von Thales sollte unzählige Generationen von Mathematikern beeinflussen.

Pythagoras

Pythagoras (Public Domain)

Der wohl berühmteste Name in der Entwicklung der griechischen Geometrie ist Pythagoras, und sei es nur wegen des berühmten Gesetzes über rechtwinklige Dreiecke. Dieser Mathematiker lebte in einem Geheimbund, der eine halb-religiöse Aufgabe übernahm. Daraus entwickelten die Pythagoräer eine Reihe von Ideen und begannen, die Trigonometrie zu entwickeln. Die Pythagoräer fügten dem Speicher des geometrischen Wissens ein paar neue Axiome hinzu.

• Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist gleich zwei rechte Winkel *(180o).
• Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich vier rechte Winkel (360o).
• Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Vielecks ist gleich 2n-4 rechte Winkel, wobei n die Anzahl der Seiten ist.
• Die Summe der Außenwinkel eines Vielecks ist gleich vier rechte Winkel, egal wie viele Seiten.
• Die drei Polygone, das Dreieck, das Sechseck und das Quadrat füllen den Raum um einen Punkt auf einer Ebene vollständig aus – sechs Dreiecke, vier Quadrate und drei Sechsecke. Mit anderen Worten, man kann eine Fläche mit diesen drei Formen kacheln, ohne Lücken zu lassen oder Überlappungen zu haben.
• Für ein rechtwinkliges Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten.

Die meisten dieser Regeln sind den meisten Schülern als Grundprinzipien der Geometrie und Trigonometrie sofort bekannt. Einer seiner Schüler, Hippokrates, trieb die Entwicklung der Geometrie weiter voran. Er war der erste, der begann, geometrische Techniken in anderen Bereichen der Mathematik anzuwenden, wie z. B. beim Lösen quadratischer Gleichungen, und er begann sogar, den Prozess der Integration zu studieren. Er untersuchte das Problem der Quadratur des Kreises (von dem wir heute wissen, dass es unmöglich ist, einfach weil Pi eine irrationale Zahl ist). Er löste das Problem der Quadratur einer Lune und zeigte, dass das Verhältnis der Flächen zweier Kreise gleich dem Verhältnis der Quadrate der Radien der Kreise ist.

Euklid

Euklid meinte, dass alle mathematischen Aussagen bewiesen werden sollten (Euklids Elemente)

Neben Pythagoras ist Euklid ein sehr berühmter Name in der Geschichte der griechischen Geometrie. Er sammelte die Arbeiten aller früheren Mathematiker und schuf sein bahnbrechendes Werk, „Die Elemente“, sicherlich eines der meistveröffentlichten Bücher aller Zeiten. In diesem Werk legte Euklid den Ansatz für die Geometrie und die reine Mathematik im Allgemeinen fest, indem er vorschlug, dass alle mathematischen Aussagen durch Argumentation bewiesen werden sollten und dass keine empirischen Messungen erforderlich waren. Diese Idee des Beweises dominiert noch immer die reine Mathematik in der modernen Welt.

Archimedes

Archimedes war ein großer Mathematiker und ein Meister der Visualisierung und Manipulation des Raumes. Er perfektionierte die Methoden der Integration und entwickelte Formeln zur Berechnung der Flächen vieler Formen und der Volumina vieler Körper. Er benutzte oft die Methode der Erschöpfung, um Formeln aufzudecken. Zum Beispiel fand er einen Weg, die Fläche unter einer Parabelkurve mathematisch zu berechnen; er berechnete einen Wert für Pi genauer als jeder andere Mathematiker zuvor; und er bewies, dass die Fläche eines Kreises gleich Pi multipliziert mit dem Quadrat seines Radius ist. Er zeigte auch, dass das Volumen einer Kugel zwei Drittel des Volumens eines Zylinders mit der gleichen Höhe und dem gleichen Radius beträgt. Diese letzte Entdeckung wurde in seinen Grabstein eingraviert.

Apollonius von Perga (262 – 190 v. Chr.)

Appolonius von Pergia (Public Domain)

Apollonius war ein Mathematiker und Astronom, und er schrieb eine Abhandlung mit dem Titel ‚Konische Schnitte.‘ Apollonius wird die Erfindung der Begriffe Ellipse, Parabel und Hyperbel zugeschrieben, und er wird oft als der große Geometer bezeichnet. Er schrieb auch ausführlich über die Ideen der Tangenten an Kurven, und seine Arbeit über Kegelschnitte und Parabeln sollte die späteren islamischen Gelehrten und ihre Arbeit über Optik beeinflussen.

Griechische Geometrie und ihr Einfluss

Die griechische Geometrie gelangte schließlich in die Hände der großen islamischen Gelehrten, die sie übersetzten und ergänzten. In dieser Studie über die griechische Geometrie gab es noch viele weitere griechische Mathematiker und Geometer, die zur Geschichte der Geometrie beitrugen, aber diese Namen sind die wahren Giganten, diejenigen, die die Geometrie entwickelten, wie wir sie heute kennen.