In der Mathematik ist eine Helix eine Kurve im 3-dimensionalen Raum. Die folgende Parametrisierung in kartesischen Koordinaten definiert eine bestimmte Helix; Die vielleicht einfachste Gleichung für eine ist

x ( t ) = cos ( t ) , {\displaystyle x(t)=\cos(t),\,}

y ( t ) = sin ( t ) , {\displaystyle y(t)=\sin(t),\,}

z ( t ) = t .

Wenn der Parameter t zunimmt, zeichnet der Punkt (x(t),y(t),z(t)) in einem rechtshändigen Koordinatensystem eine rechtshändige Helix mit der Steigung 2π (oder Steigung 1) und dem Radius 1 um die z-Achse.

In zylindrischen Koordinaten (r, θ, h) wird die gleiche Helix parametrisiert durch:

r ( t ) = 1 , {\displaystyle r(t)=1,\,}

θ ( t ) = t , {\displaystyle \theta (t)=t,\,}

h ( t ) = t . h(t)=t.\,}

Eine Kreishelix mit dem Radius a und der Steigung b/a (bzw. der Steigung 2πb) wird durch die folgende Parametrisierung beschrieben:

x ( t ) = a cos ( t ) , {\displaystyle x(t)=a\cos(t),\,}

y ( t ) = a sin ( t ) , {\displaystyle y(t)=a\sin(t),\,}

z ( t ) = b t . {displaystyle z(t)=bt.\,}

Eine andere Möglichkeit, eine Helix mathematisch zu konstruieren, ist die Darstellung der komplexwertigen Funktion exi als Funktion der reellen Zahl x (siehe Eulersche Formel).Der Wert von x und die Real- und Imaginärteile des Funktionswertes geben dieser Darstellung drei reelle Dimensionen.

Abgesehen von Rotationen, Translationen und Maßstabsänderungen sind alle rechtshändigen Helices äquivalent zu der oben definierten Helix. Die äquivalente linkshändige Helix kann auf verschiedene Arten konstruiert werden, wobei die einfachste darin besteht, eine der x-, y- oder z-Komponenten zu negieren.

Bogenlänge, Krümmung und Torsion

Die Länge einer kreisförmigen Helix mit Radius a und Steigung b/a (oder Steigung 2πb) wird in rechtwinkligen Koordinaten ausgedrückt als

t ↦ ( a cos t , a sin t , b t ) , t ∈ {\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in }

Gleich T ⋅ a 2 + b 2 {\displaystyle T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

, seine Krümmung ist | a | a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}

und seine Torsion ist b a 2 + b 2 . {\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}

Eine Helix hat konstante Krümmung und Torsion ungleich Null.

Eine Helix ist die vektorwertige Funktion

r = a cos t i + a sin t j + b t k {\displaystyle \mathbf {r} =a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} }

v = – a sin t i + a cos t j + b k {\displaystyle \mathbf {v} =-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} }

a = – a cos t i – a sin t j + 0 k {\displaystyle \mathbf {a} =-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} }

V | v | = ( – a sin t ) 2 + ( a cos t ) 2 + b 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

| a | = ( – a sin t ) 2 + ( a cos t ) 2 = a {\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a}

s ( t ) = ∫ 0 t a 2 + b 2 d τ = a 2 + b 2 t {\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t}

So kann eine Helix als Funktion von s reparametrisiert werden {\displaystyle s}

, die Einheitsgeschwindigkeit sein muss:

r ( s ) = a cos s a 2 + b 2 i + a sin s a 2 + b 2 j + b s a 2 + b 2 k {\displaystyle \mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }

Der Einheitstangentenvektor ist

d r d s = T = – a a 2 + b 2 sin s a 2 + b 2 i + a a 2 + b 2 cos s a 2 + b 2 j + b a 2 + b 2 k {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }

Der Normalvektor ist

d T d s = κ N = – a a 2 + b 2 cos s a 2 + b 2 i + – a a 2 + b 2 sin s a 2 + b 2 j + 0 k {\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }

Ihre Krümmung ist | d T d s | = κ = | a | a 2 + b 2 {\displaystyle {\bigg |}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}{\bigg |}=\kappa ={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}

.

Der Einheitsnormalvektor ist

N = – cos s a 2 + b 2 i – sin s a 2 + b 2 j + 0 k {\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }

Der Binormalvektor ist

B = T × N = 1 a 2 + b 2 {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} ={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\bigg }}