In diesem Kapitel werden grundlegende Konzepte der sequentiellen Ordnung vorgestellt. Vier sehr natürliche abzählbare Konvergenzbedingungen sind recht gut bekannt. Ein Raum ist zunächst abzählbar, wenn jeder Punkt eine abzählbare lokale Basis hat. Ein Raum ist Fréchet-Urysohn, wenn jeder Punkt x genau dann im Abschluss einer Menge liegt, wenn es eine Folge {an : n ∈ ω} aus der Menge gibt, die zu dem Punkt konvergiert, bezeichnet als an → x. Ein Raum hat abzählbare Dichtheit, wenn ein Punkt genau dann im Abschluss einer Menge liegt, wenn es eine abzählbare Teilmenge der gegebenen Menge gibt, die den Punkt ebenfalls im Abschluss hat. Die vierte Bedingung ist die sequentielle Eigenschaft. Diese Eigenschaft unterscheidet sich schon in ihrer Definition von den drei vorhergehenden, da sie nicht nur in Bezug auf einen Fixpunkt und die Menge, in deren Abschluss er sich befindet, angegeben werden kann. Eine Teilmenge A eines Raumes X ist sequentiell geschlossen, wenn jede Folge aus A, die in X konvergiert, zu einem Punkt von A konvergiert. In einem sequentiellen Raum kann die Schließung einer Menge A durch Iteration der Operation der Addition von Grenzpunkten konvergierender Folgen berechnet werden. Daraus ergibt sich der Begriff der sequentiellen Ordnung eines Raumes.