2.8 Autokorrelation
Genauso wie die Korrelation das Ausmaß einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen misst, misst die Autokorrelation die lineare Beziehung zwischen verzögerten Werten einer Zeitreihe.
Es gibt mehrere Autokorrelationskoeffizienten, die jedem Panel im Lag-Plot entsprechen. Zum Beispiel misst \(r_{1}\) die Beziehung zwischen \(y_{t}\) und \(y_{t-1}\), \(r_{2}\) misst die Beziehung zwischen \(y_{t}\) und \(y_{t-2}\), und so weiter.
Der Wert von \(r_{k}\) kann geschrieben werden als\wobei \(T\) die Länge der Zeitreihe ist.
Die ersten neun Autokorrelationskoeffizienten für die Bierproduktionsdaten sind in der folgenden Tabelle angegeben.
| \(r_1\) | \(r_2\) | \(r_3\) | \(r_4\) | \(r_5\) | \(r_6\) | \(r_7\) | \(r_8\) | \(r_9\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -0.102 | -0.657 | -0.060 | 0.869 | -0.089 | -0.635 | -0.054 | 0.832 | -0.108 |
Diese entsprechen den neun Scatterplots in Abbildung 2.13. Die Autokorrelationskoeffizienten werden aufgetragen, um die Autokorrelationsfunktion (ACF) darzustellen. Die Darstellung wird auch als Korrelationsdiagramm bezeichnet.
ggAcf(beer2)
Abbildung 2.14: Autokorrelationsfunktion der vierteljährlichen Bierproduktion.
In dieser Grafik:
- \(r_{4}\) ist höher als für die anderen Verzögerungen. Dies ist auf das saisonale Muster in den Daten zurückzuführen: die Spitzen neigen dazu, vier Quartale auseinander zu liegen und die Talsohlen neigen dazu, vier Quartale auseinander zu liegen.
- \(r_{2}\) ist negativer als für die anderen Lags, weil die Talsohlen dazu neigen, zwei Quartale hinter den Spitzen zu liegen.
- Die gestrichelten blauen Linien zeigen an, ob die Korrelationen signifikant von Null verschieden sind. Diese werden in Abschnitt 2.9 erklärt.
Trend und Saisonalität in ACF-Diagrammen
Wenn die Daten einen Trend haben, sind die Autokorrelationen für kleine Lags tendenziell groß und positiv, weil zeitlich nahe Beobachtungen auch nahe in der Größe sind. Daher neigen die ACF von trendigen Zeitreihen dazu, positive Werte zu haben, die mit zunehmender Verzögerung langsam abnehmen.
Wenn Daten saisonal sind, werden die Autokorrelationen für die saisonalen Verzögerungen (bei Vielfachen der saisonalen Frequenz) größer sein als für andere Verzögerungen.
Wenn Daten sowohl trendig als auch saisonal sind, sieht man eine Kombination dieser Effekte. Die monatliche australische Stromnachfrage-Reihe, die in Abbildung 2.15 dargestellt ist, zeigt sowohl Trend als auch Saisonalität. Ihr ACF ist in Abbildung 2.16 dargestellt.
aelec <- window(elec, start=1980)autoplot(aelec) + xlab("Year") + ylab("GWh")
Abbildung 2.15: Monatlicher australischer Strombedarf von 1980-1995.
ggAcf(aelec, lag=48)
Abbildung 2.16: ACF des monatlichen australischen Strombedarfs.
Der langsame Rückgang des ACF mit zunehmender Verzögerung ist auf den Trend zurückzuführen, während die „bogenförmige“ Form auf die Saisonalität zurückzuführen ist.