„Hey – ich habe Löcher in einigen meiner Jeans. Kannst du sie für mich flicken?“ Ihr Freund, der von Ihren legendären Fähigkeiten mit Nadel und Faden weiß, bittet Sie per SMS um Hilfe.

„Klar, das ist einfach“, antworten Sie. „Wie groß sind die Löcher?“

„Sie sind alle komisch geformt, aber nie breiter als einen Zentimeter. Ich komme später vorbei, also bereite alles vor!“

Du gehst zu deinem Nähzeug und holst ein paar kreisförmige Flicken heraus, jeder mit einem Durchmesser von einem Zoll. „Das sollte reichen“, denkst du dir. Aber wird es das? Kann ein kreisförmiger Flicken mit einem Durchmesser von 1 wirklich jedes Loch abdecken, das in jeder Richtung höchstens 1 Zoll breit ist?

Sie sehen einen anderen Flicken in Ihrem Kit, ein gleichseitiges Dreieck mit 1 Zoll langen Seiten. Sie stellen fest, dass keine zwei Punkte im Dreieck mehr als 1 Zoll voneinander entfernt sind, also könnte ein Loch in der Jeans Ihres Freundes diese Form haben. Aber wenn Sie einen kreisförmigen Flicken dagegen halten, stellen Sie fest, dass der Kreis zwei Eckpunkte des Dreiecks bedeckt, aber der dritte Eckpunkt ragt heraus.

Ein wenig elementare Geometrie bestätigt, dass die Höhe des Dreiecks, $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ Zoll, größer ist als der Radius des Kreises, $latex \frac{1}{2}$ Zoll. Der Kreis kann das Dreieck nicht überdecken, und das Dreieck kann den Kreis auch nicht überdecken. Da ein Loch beide Formen haben kann, bedeutet dies, dass keines dieser Pflaster jedes mögliche Loch in der Jeans Ihres Freundes abdecken kann.

Sie könnten zur Sicherheit ein wirklich großes Pflaster verwenden, aber Sie wollen kein wertvolles Material verschwenden. Die Frage ist also: Was ist der kleinste Flicken, der benötigt wird, um ein Loch von maximal 1 Zoll Breite abzudecken? Eine Online-Recherche zeigt, dass auch Mathematiker über diese Frage nachgedacht haben: Seit mehr als 100 Jahren suchen sie nach einer minimalen Universalabdeckung. Gefunden haben sie sie noch nicht, aber neuere Ergebnisse bringen uns dieser Idealform näher.

Das „universelle Abdeckungsproblem“ wurde erstmals von Henri Lebesgue in einem Brief an seinen Mathematikerkollegen Julius Pál im Jahr 1914 gestellt. Das Problem kann auf verschiedene Weise formuliert werden, aber im Kern geht es um den Begriff einer Region mit dem Durchmesser 1: Dies ist eine Menge von Punkten in der Ebene, in der keine zwei Punkte mehr als 1 Einheit voneinander entfernt sind, wie ein Loch, das nicht mehr als 1 Zoll breit ist, in unserem Hosenflickenproblem.

Wenn eine Menge von Punkten in eine andere passen kann, sagen wir, dass die zweite Menge die erste „bedeckt“, wie ein Flicken, der ein Loch bedeckt. Eine „universelle Abdeckung“ ist eine Region, die eine ganze Menge von Formen abdecken kann, wie alle Formen des Durchmessers 1, und Lebesgues universelles Abdeckungsproblem fragt nach der kleinsten konvexen Region, die das tut. („Konvex“ bedeutet in etwa, dass die Abdeckung keine Einbuchtungen hat, und „klein“ bedeutet, dass sie eine minimale Fläche hat.)

Es mag Sie überraschen, dass ein solch scheinbar elementares Geometrieproblem seit 100 Jahren nicht gelöst wurde. Aber ein Teil dessen, was das Problem so schwierig macht, ist, dass es schwer ist, genau festzulegen, wie eine Form mit Durchmesser 1 aussehen könnte. Wie wir bereits gesehen haben, kann es schwierig sein, Theoreme über Dinge zu beweisen, die man sich nicht vollständig vorstellen kann.

Wenn es darum geht, Mengen des Durchmessers 1 abzudecken, gibt es viele Formen, von denen wir wissen, dass sie funktionieren, nur keine Form, von der wir wissen, dass sie minimal ist. Werfen wir einen Blick darauf, warum es Mathematikern so schwer fällt, dieses Problem zu lösen.

Beginnen wir mit einer Region R mit dem Durchmesser 1. Wir haben wirklich keine Ahnung, wie R aussehen könnte; wir wissen nur, dass es, genau wie die Löcher, die wir abdecken wollen, nie mehr als 1 Einheit breit ist. Aber da es den Durchmesser 1 hat, nehmen wir an, dass es zwei Punkte A und B hat, die 1 Einheit voneinander entfernt sind.

Nun nehmen wir an, dass R einen dritten Punkt C enthält. Wo könnte C liegen? Er kann nicht mehr als 1 Einheit von A entfernt sein, was bedeutet, dass er in der Scheibe mit Radius 1 liegen muss, deren Mittelpunkt A ist. Man kann diese Scheibe mit einem geometrischen Zirkel konstruieren, der in A zentriert und nach B geöffnet ist.

Aber C kann auch nicht mehr als 1 Einheit von B entfernt sein, also muss er in der Scheibe mit Radius 1 liegen, deren Mittelpunkt B ist, die man mit dem Zirkel konstruieren kann.

Das bedeutet, dass der Punkt C im Schnittpunkt dieser beiden Scheiben liegen muss.

Dieses Argument gilt nicht nur für den Punkt C, sondern für jeden möglichen Punkt in R. Also muss jeder Punkt in R im Schnittpunkt dieser beiden Kreise liegen. Mit anderen Worten: Diese Region kann jede mögliche Menge R mit dem Durchmesser 1 abdecken und ist eine universelle Abdeckung.

Aber diese universelle Abdeckung hat keine minimale Fläche. Verkleinern wir sie.

Beachten Sie, dass die Schnittpunkte der Kreise mit A und B zwei gleichseitige Dreiecke bilden und der Abstand von oben (und unten) zur Mitte des Segments AB $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ Einheiten beträgt.

Da $latex \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$ ist, können wir parallele Linien $latex \frac{1}{2}$ Einheit weg von $latex \overline{AB}$ auf beiden Seiten wie folgt zeichnen.

Betrachten wir nun die beiden Regionen in Rot, eine oberhalb der oberen und eine unterhalb der unteren parallelen Linie.

Da der Abstand zwischen den beiden parallelen Linien 1 ist, kann sich eine Menge mit dem Durchmesser 1 unmöglich in beiden roten Regionen gleichzeitig befinden. Das bedeutet, dass wir nicht beide roten Bereiche für eine universelle Abdeckung benötigen. Wir können einfach einen abschneiden.

Unsere ursprüngliche Abdeckung – der Schnittpunkt der beiden Scheiben – hat die Fläche $latex \frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx$ 1,228, und unsere neue Abdeckung hat den Flächeninhalt $latex \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2} \approx$ 1,071. Ausgehend von einer elementaren universellen Abdeckung konnten wir sie durch Entfernen eines fremden Stücks verkleinern.

Auf diese Weise sind die Mathematiker zur aktuell kleinsten universellen Abdeckung gelangt. Mit fortgeschritteneren Techniken können wir andere einfache Formen finden, mit denen wir beginnen können. Zum Beispiel kann gezeigt werden, dass ein 1-mal-1-Quadrat eine universelle Hülle ist. Und als Antwort auf Lebesgues Herausforderung nutzte Pál die Eigenschaften sogenannter Kurven konstanter Breite, um zu zeigen, dass eine Menge des Durchmessers 1 zwar aus einem Kreis des Durchmessers 1 herausragen kann, aber immer so verschoben oder gedreht werden kann, dass sie in das Sechseck passt, das diesen Kreis umschreibt:

Unten zeigen wir Páls Sechseck, das verschiedene Formen des Durchmessers 1 abdeckt. Die Form in der Mitte ist ein Reuleaux-Dreieck, eine Kurve mit konstanter Breite, die eng mit den Beispielabdeckungen verwandt ist, die wir oben konstruiert haben. (Wir können ein Reuleaux-Dreieck aus unseren Beispielabdeckungen konstruieren, indem wir unseren Zirkel am oberen Schnittpunkt der beiden Kreise zentrieren, ihn auf eine Breite von 1 öffnen und einen Bogen von A nach B machen.)

Dieses Sechseck hat eine Fläche $latex \frac{\sqrt{3}}{2} \approx$ 0,866, was kleiner ist als der Flächeninhalt unserer Beispielabdeckung und des Einheitsquadrats. Aber Pál zeigte auch, dass wir nicht das gesamte Sechseck benötigen. Mit dem folgenden genialen Argument fand er einige überflüssige Teile, die er abschneiden konnte.

Starten Sie mit zwei Kopien von Páls Sechseck, die übereinander gestapelt sind

und drehen Sie eines davon um 30 Grad um seinen Mittelpunkt.

Auf diese Weise entstehen viele coole Dinge – wie ein Zwölfeck, das durch den Schnittpunkt der beiden Sechsecke gebildet wird – aber wir sind am meisten an den sechs kleinen roten Dreiecken interessiert, die unten gezeigt werden.

Jedes rote Dreieck befindet sich sowohl innerhalb des ursprünglichen Sechsecks als auch außerhalb des gedrehten Sechsecks. Da jedes Paar gegenüberliegender Seiten jedes Sechsecks 1 Einheit voneinander entfernt ist, müssen Punkte, die in zwei gegenüberliegenden roten Dreiecken liegen, mehr als 1 Einheit voneinander entfernt sein. Wie in unserem Argument oben, würde eine universelle Abdeckung nicht beide Dreiecke in jedem gegenüberliegenden Paar benötigen, da eine Menge mit dem Durchmesser 1 nicht in beiden gleichzeitig sein kann. Das bedeutet, dass wir in der Lage sein sollten, einige von ihnen zu entfernen. Optimistischerweise könnten wir hoffen, drei zu entfernen: eines aus jedem Paar. Aber leider können wir nicht drei rote Dreiecke aus unserer Abdeckung entfernen und trotzdem alle möglichen Mengen mit Durchmesser 1 behandeln. Sehen wir uns an, warum.

Ein Sechseck kann um 60 Grad gedreht oder über eine seiner Symmetrielinien gespiegelt werden, ohne dass sich etwas ändert, also gibt es eigentlich nur zwei verschiedene Möglichkeiten, ein rotes Dreieck aus jedem gegenüberliegenden Paar zu wählen: Die drei Dreiecke könnten hintereinander liegen oder sie könnten sich abwechseln. Dies ist unten dargestellt, wobei die Punkte anzeigen, welche Dreiecke eine Menge mit dem Durchmesser 1 einnehmen könnte.

Wenn die Menge, die wir abdecken müssen, drei aufeinanderfolgende Dreiecke einnimmt, wie links, kann sie nicht durch die Form abgedeckt werden, die wir erhalten würden, wenn wir drei abwechselnde Dreiecke entfernen, wie rechts. Und wenn die Menge drei alternierende Dreiecke einnimmt, kann sie nicht durch die Form abgedeckt werden, die wir durch das Entfernen von drei aufeinanderfolgenden Dreiecken erhalten würden. Das Entfernen einer der beiden Mengen von drei Dreiecken lässt eine potenzielle Menge mit dem Durchmesser 1 unbedeckt. Wir können also nicht drei rote Dreiecke entfernen.

Aber wir können zwei entfernen. Die beiden oben beschriebenen problematischen Mengen können immer noch abgedeckt werden, wenn wir zwei rote Dreiecke entfernen, die weder benachbart noch gegenüberliegend sind. Das ist genau das, was Pál getan hat.

Er hat zwei Dreiecke aus seinem Sechseck herausgeschnitten, um eine neue Form zu erhalten, die garantiert alle Regionen mit dem Durchmesser 1 abdeckt. Diese neue universelle Abdeckung hat eine Fläche von 2 – $latex \frac{2}{\sqrt{3}} \approx$ 0,8453 , etwas weniger als das Sechseck.

Und das Trimmen ging weiter. Kleinere Stücke wurden von den Mathematikern Roland Sprague im Jahr 1936 und H.C. Hansen 1992 erfolgreich entfernt. Und vor ein paar Jahren schlug der Amateur-Mathematiker Philip Gibbs, inspiriert von einem Blog-Post des Mathematikers John Baez, neue Stücke zum Abschneiden vor. In Zusammenarbeit mit Baez und einem weiteren Mitarbeiter verallgemeinerte er die Techniken von Sprague und Hansen, um noch mehr von der Abdeckung abzuschneiden, und stellte einen neuen Weltrekord für die kleinste konvexe Abdeckung von Mengen mit einem Durchmesser von 1 auf, einen Rekord, den Gibbs selbst schnell verbesserte, indem er noch mehr unnötige Fläche entfernte.

Die gute Nachricht ist, dass wir immer wieder Stücke von Páls Sechseck finden, die wir abschneiden können. Die schlechte Nachricht ist, dass die Stücke sehr klein sind. Die Arbeit von Sprague reduzierte die Fläche der Abdeckung um etwa 0,001 Quadrateinheiten, und die von Hansen nur um 0,00000000004 Quadrateinheiten. Gibbs und seine Mitarbeiter reduzierten Hansens Abdeckung um etwa 0,00002 Quadrateinheiten, was im Vergleich dazu wie ein gewaltiger Schnitt erscheint.

Wie tief können sie noch sinken? Im Jahr 2005 haben Peter Brass und Mehrbod Sharifi bewiesen, dass keine universelle Abdeckung kleiner als 0,832 Quadrateinheiten sein kann, also wissen wir, dass wir nicht viel mehr vom aktuellen Rekord abschneiden können. Aber wenn Sie mit einer neuen Technik oder einem neuen Ausgangspunkt aufwarten können, könnten Sie uns näher an die minimale Universalabdeckung heranführen und ein Stück Mathematikgeschichte für sich selbst abschneiden. Denken Sie nur daran, dass der schwierigste Teil darin besteht, sich die unendlich vielen Möglichkeiten vorzustellen, wie eine Menge mit dem Durchmesser 1 aussehen könnte. Und dafür zu sorgen, dass man alle Möglichkeiten abdeckt.