Dans le monde réel, les oscillations suivent rarement un véritable SHM. La friction d’une certaine sorte agit généralement pour amortir le mouvement de sorte qu’il meurt, ou nécessite plus de force pour continuer. Dans cette section, nous examinons quelques exemples de mouvement harmonique amorti et voyons comment modifier les équations du mouvement pour décrire ce cas plus général.

Une corde de guitare cesse d’osciller quelques secondes après avoir été pincée. Pour continuer à se balancer sur une balançoire de cour de récréation, il faut continuer à pousser (figure \(\PageIndex{1}\)). Bien qu’il soit souvent possible de rendre le frottement et les autres forces non conservatives faibles ou négligeables, il est rare qu’un mouvement soit totalement non amorti. En fait, nous pouvons même vouloir amortir les oscillations, comme avec les amortisseurs de voiture.

La figure \(\PageIndex{2}\) montre une masse m attachée à un ressort avec une constante de force k. La masse est élevée jusqu’à une position A0, l’amplitude initiale, puis relâchée. La masse oscille autour de la position d’équilibre dans un fluide avec viscosité, mais l’amplitude diminue à chaque oscillation. Pour un système qui a une petite quantité d’amortissement, la période et la fréquence sont constantes et sont presque les mêmes que pour le SHM, mais l’amplitude diminue progressivement comme indiqué. Cela se produit parce que la force d’amortissement non conservative retire de l’énergie au système, généralement sous forme d’énergie thermique.

Considérez les forces agissant sur la masse. Notez que la seule contribution du poids est de changer la position d’équilibre, comme nous l’avons vu plus tôt dans le chapitre. Par conséquent, la force nette est égale à la force du ressort et à la force d’amortissement (\(F_D\)). Si la vitesse est faible, ce qui signifie que la masse oscille lentement, la force d’amortissement est proportionnelle à la vitesse et agit dans le sens contraire du mouvement (\(F_D = -b\)). La force nette sur la masse est donc

En écrivant cela comme une équation différentielle en x, nous obtenons

Pour déterminer la solution de cette équation, considérez le tracé de la position en fonction du temps représenté sur la figure \(\PageIndex{3}\). La courbe ressemble à une courbe en cosinus oscillant dans l’enveloppe d’une fonction exponentielle \(A_0e^{-\alpha t}\) où \(\alpha = \frac{b}{2m}\). La solution est

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On laisse comme exercice de prouver que c’est, en fait, la solution. Pour prouver qu’il s’agit de la bonne solution, prenez les dérivées premières et secondes par rapport au temps et substituez-les dans l’équation 15.23. On constate que l’équation 15.24 est la solution si

Rappelons que la fréquence angulaire d’une masse soumise à la MHS est égale à la racine carrée de la constante de force divisée par la masse. On parle souvent de la fréquence angulaire naturelle, qui est représentée par

La fréquence angulaire pour un mouvement harmonique amorti devient

Rappellez-vous que lorsque nous avons commencé cette description du mouvement harmonique amorti, nous avons déclaré que l’amortissement devait être faible. Deux questions viennent à l’esprit. Pourquoi l’amortissement doit-il être faible ? Et à quel point est-il petit ? Si vous augmentez progressivement la quantité d’amortissement dans un système, la période et la fréquence commencent à être affectées, car l’amortissement s’oppose au mouvement de va-et-vient et le ralentit donc. (La force nette est plus faible dans les deux directions.) Si l’amortissement est très important, le système n’oscille même pas – il se rapproche lentement de l’équilibre. La fréquence angulaire est égale à

A mesure que b augmente, \(\frac{k}{m} – \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}\) devient plus petit et finit par atteindre zéro lorsque b = \(\sqrt{4mk}\). Si b devient plus grand, \(\frac{k}{m} – \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}\) devient un nombre négatif et \(\sqrt{\frac{k}{m} – \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}}\) est un nombre complexe.

La figure \(\PageIndex{4}\) montre le déplacement d’un oscillateur harmonique pour différentes quantités d’amortissement.

1. Lorsque la constante d’amortissement est petite, b < \(\sqrt{4mk}\), le système oscille alors que l’amplitude du mouvement décroît exponentiellement. On dit que ce système est sous-amorti, comme dans la courbe (a). De nombreux systèmes sont sous-amortis, et oscillent alors que l’amplitude décroît de manière exponentielle, comme la masse oscillant sur un ressort. L’amortissement peut être assez faible, mais la masse finit par s’immobiliser.
2. Si la constante d’amortissement est \(b = \sqrt{4mk}\), le système est dit amorti de façon critique, comme dans la courbe (\(b\)). Les amortisseurs d’une voiture sont un exemple de système à amortissement critique. Il est avantageux que les oscillations diminuent aussi rapidement que possible. Ici, le système n’oscille pas, mais se rapproche asymptotiquement de la condition d’équilibre aussi rapidement que possible.
3. La courbe (c) de la figure \(\PageIndex{4}\) représente un système suramorti où \(b > \sqrt{4mk}\). Un système suramorti se rapprochera de l’équilibre sur une plus longue période de temps.

L’amortissement critique est souvent souhaité, car un tel système revient rapidement à l’équilibre et y reste également. En outre, une force constante appliquée à un système amorti de façon critique déplace le système vers une nouvelle position d’équilibre dans le temps le plus court possible sans dépassement ou oscillation autour de la nouvelle position.

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