Fondamentaux des probabilités

Les probabilités sont la branche des mathématiques qui traite de la probabilité que certains résultats se produisent. Il existe cinq règles de base, ou axiomes, que l’on doit comprendre lorsqu’on étudie les principes fondamentaux de la probabilité.

En probabilité discrète, nous supposons une expérience bien définie, comme tirer à pile ou face ou lancer un dé. Chaque résultat individuel qui pourrait se produire est appelé une issue. L’ensemble de tous les résultats est appelé l’espace d’échantillonnage, et tout sous-ensemble de l’espace d’échantillonnage est appelé un événement.

Par exemple, considérons l’expérience consistant à lancer une pièce de monnaie deux fois. Il existe quatre issues individuelles, à savoir \text{HH},\text{HT},\text{TH},\text{TT}. L’espace d’échantillonnage est donc \{\text{HHH},\text{HT},\text{TH},\text{TT}\}. L’événement « au moins un face apparaît » serait l’ensemble \{\text{HH},\text{HT},\text{TH}\}. Si la pièce de monnaie était une pièce normale, nous attribuerions la probabilité de 1/4 à chaque résultat.

En théorie des probabilités, la probabilité \text{P} d’un certain événement \text{E}, notée \text{P}\left(\text{E}\right), est généralement définie de telle sorte que \text{P} satisfasse un certain nombre d’axiomes, ou règles. Les règles les plus fondamentales et les plus importantes sont énumérées ci-dessous.

Règles de probabilité

La probabilité est un nombre. Elle est toujours supérieure ou égale à zéro, et inférieure ou égale à un. Elle peut s’écrire 0\leq{\text{P}}\left(\text{A}\right)\geq{1}. Un événement impossible, ou un événement qui ne se produit jamais, a une probabilité de 0. Un événement qui se produit toujours a une probabilité de 1. Un événement avec une probabilité de 0,5 se produira la moitié du temps.

La somme des probabilités de toutes les possibilités doit être égale à 1. Une certaine issue doit se produire à chaque essai, et la somme de toutes les probabilités est égale à 100 %, ou dans ce cas, 1. Cela peut s’écrire sous la forme \text{P}\left(\text{S}\right)=1, où \text{S} représente l’ensemble de l’espace d’échantillonnage.

Si deux événements n’ont aucune issue en commun, la probabilité que l’un ou l’autre se produise est la somme de leurs probabilités individuelles. Si un événement se produit dans 30 % des essais, qu’un événement différent se produit dans 20 % des essais et que les deux ne peuvent pas se produire ensemble (s’ils sont disjoints), la probabilité que l’un ou l’autre se produise est de 30 %+20 %=50 %. Cette règle est parfois appelée règle de l’addition et peut être simplifiée comme suit : \text{P}\left({\text{A}} \text{ ou} {\text{ B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right). Le mot « ou » a la même signification en mathématiques que l’union, qui utilise le symbole suivant : \cup. Ainsi, lorsque \text{A} et \text{B} sont disjoints, on a \text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right). La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité que cet événement se produise. Si un événement se produit dans 60 % des essais, il ne se produit pas dans les 40 % restants, car 100 %-60 %=40 %. La somme de la probabilité qu’un événement se produise et de la probabilité qu’il ne se produise pas est toujours égale à 100 %, soit 1. Ces événements sont appelés événements complémentaires, et cette règle est parfois appelée règle du complément. Elle peut être simplifiée avec \text{P}\left(\text{A}^\text{c}\right)=1-\text{P}\left(\text{A}\right), où \text{A}^\text{c} est le complément de \text{A}.

Deux événements \text{A} et \text{B} sont indépendants si le fait de savoir que l’un se produit ne change pas la probabilité que l’autre se produise. C’est ce qu’on appelle souvent la règle de la multiplication. Si \text{A} et \text{B} sont indépendants, alors \text{P}\left(\text{A} \text{et} \text{B}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right). Le mot « et » en mathématiques signifie la même chose que l’intersection, qui utilise le symbole suivant : \cap. Par conséquent, lorsque \text{A} et \text{B} sont indépendants, on a \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right).

Extension de l’exemple

En prolongement de notre exemple ci-dessus de tirer à pile ou face deux pièces de monnaie, attribuons la probabilité 1/4 à chacune des 4 issues. Nous considérons chacune des cinq règles ci-dessus dans le contexte de cet exemple.

1. Notez que chaque probabilité est de 1/4, ce qui est compris entre 0 et 1.

2. Notez que la somme de toutes les probabilités est de 1, puisque \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1.

3. Supposons que \text{A} est l’événement où exactement une tête se produit, et B est l’événement où exactement deux queues se produisent. Alors \text{A}=\{\text{HT},\text{TH}\} et \text{B}=\{\text{TT}\} sont disjoints. De plus, \text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}\right)=\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right).

4. La probabilité qu’aucune tête n’apparaisse est 1/4, ce qui est égal à 1-3/4. Donc si \text{A}=\{\text{HT},\text{TH},\text{HH}\} est l’événement qu’une tête se produit, on a \text{P}\left(\text{A}^\text{c}\right)=\frac{1}{4}=1-\frac{3}{4}=1-\text{P}\left(\text{A}\right).

5. Si \text{A} est l’événement que le premier flip est un heads et \text{B} est l’événement que le second flip est un heads, alors \text{A} et\text{B} sont indépendants. Nous avons \text{A}=\{\text{HT},\text{HH}\} et \text{B}={\text{TH},\text{HH}} et \text{A}\cap{\text{B}}={\text{HH}}. Note that \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right).

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle d’un événement est la probabilité qu’un événement se produise étant donné qu’un autre événement s’est produit.

Probabilité de B étant donné que A s’est produit

Notre estimation de la probabilité d’un événement peut changer si nous savons qu’un autre événement s’est produit. Par exemple, la probabilité qu’un dé lancé indique un 2 est de 1/6 sans aucune autre information, mais si quelqu’un regarde le dé et vous dit que c’est un nombre pair, la probabilité est maintenant de 1/3 qu’il s’agisse d’un 2. La notation \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right) indique une probabilité conditionnelle, c’est-à-dire qu’elle indique la probabilité d’un événement à la condition que nous sachions qu’un autre événement s’est produit. La barre « \mid » peut être lue comme « donnée », de sorte que \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right) se lit comme « la probabilité de \text{B} étant donné que \text{A} s’est produit ».

La probabilité conditionnelle \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right) d’un événement \text{B}, étant donné un événement \text{A}, est définie par :

\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{A}\right)}

Lorsque \text{P}\left(\text{A}\right)} >0. N’oubliez pas les rôles distincts de \text{B} et \text{A} dans cette formule. L’ensemble après la barre est celui dont on suppose qu’il s’est produit, et sa probabilité apparaît au dénominateur de la formule.

Indépendance

La probabilité conditionnelle \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right) n’est pas toujours égale à la probabilité inconditionnelle \text{P}\left(\text{B}\right). La raison en est que l’occurrence de l’événement \text{A} peut fournir des informations supplémentaires qui peuvent modifier la probabilité que l’événement \text{B} se produise. Si le fait de savoir que l’événement \text{A} se produit ne change pas la probabilité que l’événement \text{B} se produise, alors \text{A} et \text{B} sont des événements indépendants, et donc, \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}\right)=\text{P}\left(\text{B}\right).

Théorème de Bayes

En théorie des probabilités et en statistique, le théorème de Bayes (alternativement loi de Bayes ou règle de Bayes) est un résultat important dans la manipulation mathématique des probabilités conditionnelles. Il peut être dérivé des axiomes de base des probabilités.

Mathématiquement, le théorème de Bayes donne la relation entre les probabilités de \text{A} et \text{B}, \text{P}\left(\text{A}\right) et \text{P}\left(\text{B}\right), et les probabilités conditionnelles de \text{A} étant donné \text{B} et \text{B} étant donné \text{A}. Dans sa forme la plus courante, c’est :

\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}

Ceci peut être plus facile à retenir sous cette autre forme symétrique :

\frac{\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)}=\frac{\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}

Unions et Intersections

L’union et l’intersection sont deux concepts clés de la théorie des ensembles et des probabilités.

La probabilité utilise les idées mathématiques des ensembles, comme nous l’avons vu dans la définition de l’espace d’échantillonnage d’une expérience et dans la définition d’un événement. Afin d’effectuer des calculs de probabilité de base, nous devons revoir les idées de la théorie des ensembles liées aux opérations sur les ensembles que sont l’union, l’intersection et le complément.

Union

L’union de deux ensembles ou plus est l’ensemble qui contient tous les éléments de chacun des ensembles ; un élément est dans l’union s’il appartient à au moins un des ensembles. Le symbole de l’union est \cup, et est associé au mot « ou », car \text{A}\cup{\text{B}} est l’ensemble de tous les éléments qui sont dans \text{A} ou \text{B}. Pour trouver l’union de deux ensembles, il faut énumérer les éléments qui se trouvent dans l’un ou l’autre (ou les deux) ensemble. En termes de diagramme de Venn, l’union des ensembles \text{A} et \text{B} peut être représentée par deux cercles imbriqués complètement ombrés.

En symboles, puisque l’union de \text{A} et \text{B} contient tous les points qui sont dans \text{A} ou \text{B} ou les deux, la définition de l’union est :

\text{A}\cup{\text{B}}=\{\text{x}:\text{x}\in{\text{A}} \text{ ou }

Par exemple, si \text{A}=\{1,3,5,7\} et \text{B}=\{1,2,4,6\} alors \text{A}\cup{\text{B}}=\{1,2,3,4,5,6,7\}. Remarquez que l’élément 1 ne figure pas deux fois dans l’union, même s’il apparaît dans les deux ensembles \text{A} et \text{B}. Cela nous amène à la règle générale d’addition pour l’union de deux événements :

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)−\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)

Où \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right) est l’intersection des deux ensembles. Nous devons le soustraire pour éviter le double comptage de l’inclusion d’un élément.

Si les ensembles \text{A} et \text{B} sont disjoints, cependant, l’événement \text{A}\cap{\text{B}} n’a aucune issue en lui, et est un ensemble vide noté ∅, qui a une probabilité de zéro. Ainsi, la règle ci-dessus peut être raccourcie pour les ensembles disjoints seulement :

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)

Cette règle peut même être étendue à plus d’ensembles s’ils sont tous disjoints :

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\cup{\text{C}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)+\text{P}\left(\text{C}\right)

Intersection

L’intersection de deux ou plusieurs ensembles est l’ensemble des éléments qui sont communs à chacun des ensembles. Un élément est dans l’intersection s’il appartient à tous les ensembles. Le symbole de l’intersection est \cap, et est associé au mot « et », car \text{A}\cap{\text{B}} est l’ensemble des éléments qui sont dans \text{A} et \text{B} simultanément. Pour trouver l’intersection de deux (ou plusieurs) ensembles, il faut inclure uniquement les éléments qui figurent dans les deux (ou tous les) ensembles. En termes de diagramme de Venn, l’intersection de deux ensembles \text{A} et \text{B} peut être représentée au niveau de la région ombrée au milieu de deux cercles imbriqués.

En notation mathématique, l’intersection de \text{A} et \text{B} s’écrit comme suit : \text{A}\cap{\text{B}}=\{\text{x}:\text{x}\in{\text{A}} et \text{x}\in{\text{B}}. Par exemple, si \text{A}=\{1,3,5,7\} et \text{B}=\{1,2,4,6\}, alors \text{A}\cap{\text{B}}=\{1\} car 1 est le seul élément qui apparaît dans les deux ensembles \text{A} et \text{B}.

Lorsque les événements sont indépendants, c’est-à-dire que le résultat d’un événement n’affecte pas le résultat d’un autre événement, nous pouvons utiliser la règle de multiplication pour les événements indépendants, qui stipule :

\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right)

Par exemple, disons que nous lançons une pièce de monnaie deux fois, et que nous voulons connaître la probabilité de lancer deux têtes. Comme le premier lancer n’affecte pas le second, les événements sont indépendants. Disons que est l’événement que le premier lancer est un face et \text{B} est l’événement que le second lancer est un face, alors \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Evénements complémentaires

Le complément de \text{A} est l’événement dans lequel \text{A} ne se produit pas.

Que sont les événements complémentaires ?

En théorie des probabilités, le complément de tout événement \text{A} est l’événement , c’est-à-dire l’événement dans lequel \text{A} ne se produit pas. L’événement \text{A} et son complément sont mutuellement exclusifs et exhaustifs, ce qui signifie que si l’un se produit, l’autre ne se produit pas, et que les deux groupes couvrent toutes les possibilités. En général, il n’existe qu’un seul événement \text{B} tel que \text{A} et \text{B} sont tous deux mutuellement exclusifs et exhaustifs ; cet événement est le complément de \text{A}. Le complément d’un événement \text{A} est généralement dénoté comme \text{A}′, \text{A}^c ou \bar{\text{A}}.