Ce chapitre fournit les concepts de base liés à l’ordre séquentiel. Quatre conditions de convergence dénombrables très naturelles sont assez bien connues. Un espace est d’abord dénombrable si chaque point a une base locale dénombrable. Un espace est de Fréchet-Urysohn si chaque point x est dans la fermeture d’un ensemble exactement quand il existe une suite {an : n ∈ ω} de l’ensemble convergeant vers le point, notée an → x. Un espace a une étanchéité dénombrable si un point est dans la fermeture d’un ensemble exactement quand il existe un sous-ensemble dénombrable de l’ensemble donné qui a aussi le point dans la fermeture. La quatrième condition est la propriété séquentielle. La définition de cette propriété la distingue déjà des trois précédentes car elle ne peut pas être énoncée uniquement en termes de point fixe et d’ensembles dont il est à la fermeture. Un sous-ensemble A d’un espace X est séquentiellement fermé si chaque séquence de A qui converge dans X converge vers un point de A. Un espace est séquentiel si chaque sous-ensemble séquentiellement fermé est fermé. Dans un espace séquentiel, la fermeture d’un ensemble A peut être calculée en itérant l’opération d’addition des points limites de séquences convergentes. Ceci donne lieu à la notion d’ordre séquentiel d’un espace.