« Hé – j’ai des trous dans certains de mes jeans. Peux-tu les rapiécer pour moi ? » Votre ami, qui connaît votre habileté légendaire avec une aiguille et du fil, vous envoie un texto pour vous demander de l’aide.

« Bien sûr, c’est facile », répondez-vous. « Quelle est la taille des trous ? »

« Ils ont tous des formes bizarres, mais jamais plus larges qu’un pouce. Je passerai tout à l’heure, alors préparez les choses ! »

Vous allez à votre trousse à couture et en sortez des rustines circulaires, chacune d’un pouce de diamètre. « Cela devrait faire l’affaire », vous dites-vous. Mais le fera-t-il ? Un patch circulaire de diamètre 1 peut-il vraiment couvrir n’importe quel trou qui fait au maximum 1 pouce de large dans n’importe quelle direction ?

Vous voyez un autre patch dans votre kit, un triangle équilatéral avec des côtés de 1 pouce. Tu observes qu’aucun des deux points du triangle n’est distant de plus de 1 pouce, donc un trou dans le jean de ton ami pourrait avoir cette forme. Mais lorsque vous tenez un patch circulaire contre lui, vous remarquez que le cercle couvre deux sommets du triangle, mais que le troisième sommet dépasse.

Un peu de géométrie élémentaire confirme que la hauteur du triangle, $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ pouces, est supérieure au rayon du cercle, $latex \frac{1}{2}$ pouce. Le cercle ne peut pas couvrir le triangle, et le triangle ne peut pas non plus couvrir le cercle. Puisqu’un trou peut avoir l’une ou l’autre forme, cela signifie qu’aucun de ces patchs ne peut couvrir tous les trous possibles dans le jean de votre ami.

Vous pourriez simplement utiliser un très gros patch pour être sûr, mais vous ne voulez pas gaspiller du matériel précieux. La question est donc la suivante : quel est le plus petit patch nécessaire pour couvrir un trou d’au plus 1 pouce de large ? Une recherche en ligne révèle que les mathématiciens se sont également penchés sur cette question : Ils cherchent une couverture universelle minimale depuis plus de 100 ans. Ils ne l’ont pas encore trouvée, mais des résultats récents nous rapprochent de cette forme idéale.

Le « problème de la couverture universelle » a été posé pour la première fois par Henri Lebesgue dans une lettre à son collègue mathématicien Julius Pál en 1914. Le problème peut être formulé de différentes manières, mais au cœur de celui-ci se trouve la notion de région de diamètre 1. Il s’agit d’un ensemble de points dans le plan où aucun point n’est séparé de plus d’une unité, comme un trou ne dépassant pas un pouce de large dans notre problème de rapiéçage de pantalon.

Si un ensemble de points peut s’insérer dans un autre, on dit que le second ensemble « couvre » le premier, comme un patch qui couvre un trou. Une « couverture universelle » est une région qui peut couvrir un ensemble entier de formes, comme toutes les formes de diamètre 1. Le problème de couverture universelle de Lebesgue demande la plus petite région convexe qui fait l’affaire. (« Convexe » signifie grossièrement que la couverture n’a pas d’indentations, et « la plus petite » signifie d’aire minimale.)

Cela peut vous surprendre qu’un problème de géométrie aussi apparemment élémentaire n’ait pas été résolu en 100 ans. Mais une partie de ce qui rend le problème si difficile est qu’il est difficile de cerner exactement ce à quoi une forme de diamètre 1 pourrait ressembler. Comme nous l’avons déjà vu, il peut être difficile de prouver des théorèmes sur des choses que vous ne pouvez pas entièrement imaginer.

Lorsqu’il s’agit de couvrir des ensembles de diamètre 1, il y a beaucoup de formes dont nous savons qu’elles fonctionnent, juste aucune forme que nous savons être minimale. Voyons pourquoi les mathématiciens ont du mal à coudre celle-ci.

Démarrons avec une région R de diamètre 1. Nous n’avons vraiment aucune idée de ce à quoi R peut ressembler ; nous savons seulement que, tout comme les trous que nous essayons de couvrir, elle ne fait jamais plus de 1 unité de large. Mais puisqu’il a un diamètre 1, supposons qu’il comporte deux points A et B distants de 1 unité.

Supposons maintenant que R contient un troisième point C. Où pourrait se trouver C ? Il ne peut pas être à plus de 1 unité de A, ce qui signifie qu’il doit se trouver dans le disque de rayon 1 centré sur A. Vous pouvez construire ce disque à l’aide d’un compas géométrique centré sur A et ouvert sur B.

Mais C ne peut pas non plus être à plus de 1 unité de B, il doit donc se trouver dans le disque de rayon 1 centré sur B, que vous pouvez construire à l’aide de votre compas.

Ce qui signifie que le point C doit se trouver à l’intersection de ces deux disques.

Cet argument ne s’applique pas seulement au point C, il s’applique à tous les points possibles de R. Ainsi, chaque point de R doit se trouver à l’intersection de ces deux cercles. En d’autres termes, cette région peut couvrir tous les ensembles possibles R de diamètre 1 et est une couverture universelle.

Mais cette couverture universelle n’a pas d’aire minimale. Découpons-la.

Voyez que les points d’intersection des cercles forment deux triangles équilatéraux avec A et B, et que la distance du haut (et du bas) au milieu du segment AB est de $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ unités.

Puisque $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$. > \frac{1}{2}$ , nous pouvons tracer des lignes parallèles $latex \frac{1}{2}$ unité loin de $latex \overline{AB}$ de chaque côté comme ceci.

Présentons maintenant les deux régions en rouge, l’une au-dessus de la ligne parallèle supérieure et l’autre au-dessous de la ligne inférieure.

Puisque la distance entre les deux lignes parallèles est de 1, un ensemble de diamètre 1 ne pourrait pas se trouver dans les deux régions rouges en même temps. Cela signifie que nous n’avons pas besoin des deux parties rouges pour une couverture universelle. Nous pouvons simplement en couper une.

Notre couverture originale – l’intersection des deux disques – a une aire $latex \frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}. \approx$ 1.228, et notre nouvelle couverture a une aire $latex \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2} \approx$ 1.071. En partant d’une couverture universelle élémentaire, nous avons pu la rendre plus petite en supprimant une pièce superflue.

C’est exactement de cette façon que les mathématiciens sont arrivés à la plus petite couverture universelle actuelle. En utilisant des techniques plus avancées, nous pouvons trouver d’autres formes simples pour commencer. Par exemple, on peut montrer qu’un carré 1 par 1 est une couverture universelle. Et en réponse au défi de Lebesgue, Pál a utilisé les propriétés de ce qu’on appelle les courbes de largeur constante pour montrer que même si un ensemble de diamètre 1 peut sortir d’un cercle de diamètre 1, il peut toujours être déplacé ou tourné pour rentrer dans l’hexagone qui circonscrit ce cercle :

Ci-après, nous montrons l’hexagone de Pál couvrant diverses formes de diamètre 1. La forme au milieu est un triangle de Reuleaux, une courbe de largeur constante étroitement liée aux couvertures d’exemple que nous avons construites ci-dessus. (Nous pouvons construire un triangle de Reuleaux à partir de nos exemples de couverture en centrant notre compas à l’intersection supérieure des deux cercles, en l’ouvrant à une largeur de 1, et en faisant un arc de A à B.)

Cet hexagone a une aire $latex \frac{\sqrt{3}}{2} \approx$ 0,866, ce qui est inférieur à l’aire des couvertures de notre exemple et du carré unitaire. Mais Pál a également montré que nous n’avons pas besoin de l’hexagone entier. En utilisant l’argument ingénieux suivant, il a trouvé quelques parties superflues qu’il pouvait couper.

Démarrez avec deux copies de l’hexagone de Pál empilées l’une sur l’autre

et faites tourner l’une d’entre elles de 30 degrés autour de leur centre.

Des tas de choses cool sont ainsi créées – comme un dodécagone formé par l’intersection des deux hexagones – mais nous sommes surtout intéressés par les six petits triangles rouges représentés ci-dessous.

Chaque triangle rouge est à la fois à l’intérieur de l’hexagone original et à l’extérieur de l’hexagone tourné. Comme chaque paire de côtés opposés de chaque hexagone est distante de 1 unité, les points situés dans deux triangles rouges opposés doivent être distants de plus de 1 unité. Comme dans notre argument ci-dessus, une couverture universelle n’aurait pas besoin des deux triangles dans chaque paire opposée, puisqu’un ensemble de diamètre 1 ne pourrait pas se trouver dans les deux en même temps. Cela signifie que nous devrions être en mesure d’en supprimer certains. De manière optimiste, nous pourrions espérer en supprimer trois : un de chaque paire. Mais malheureusement, nous ne pouvons pas supprimer trois triangles rouges de notre couverture et continuer à gérer tous les ensembles possibles de diamètre 1. Voyons pourquoi.

Un hexagone peut être tourné de 60 degrés ou retourné à travers l’une de ses lignes de symétrie sans que rien ne change, donc il n’y a vraiment que deux façons différentes de choisir un triangle rouge dans chaque paire opposée : Les trois triangles peuvent être consécutifs ou alternés. Cela est illustré ci-dessous, avec des points indiquant quels triangles un ensemble de diamètre 1 pourrait occuper.

Si l’ensemble que nous devons couvrir occupe trois triangles consécutifs, comme à gauche, il ne peut pas être couvert par la forme que nous obtiendrions en retirant trois triangles alternés, comme à droite. Et si l’ensemble occupe trois triangles alternés, il ne peut pas être couvert par la forme que l’on obtiendrait en retirant trois triangles consécutifs. En retirant l’un ou l’autre des ensembles de trois triangles, on laisse un ensemble potentiel de diamètre 1 non couvert. Nous ne pouvons donc pas supprimer trois triangles rouges.

Mais nous pouvons en supprimer deux. Les deux ensembles problématiques décrits ci-dessus peuvent encore être couverts si nous supprimons deux triangles rouges qui ne sont ni adjacents ni opposés. C’est exactement ce que Pál a fait.

Il a tranché deux triangles de son hexagone pour obtenir une nouvelle forme qui est garantie de couvrir toutes les régions de diamètre 1. Cette nouvelle couverture universelle a une surface de 2 – $latex \frac{2}{\sqrt{3}} \approx$ 0,8453 , légèrement inférieure à celle de l’hexagone.

Et le rognage a continué. Des morceaux plus petits ont été retirés avec succès par les mathématiciens Roland Sprague en 1936 et H.C. Hansen en 1992. Et il y a quelques années à peine, le mathématicien amateur Philip Gibbs, inspiré par un billet de blog du mathématicien John Baez, a proposé de nouveaux morceaux à découper. Travaillant avec Baez et un autre collaborateur, il a généralisé les techniques de Sprague et Hansen pour trancher encore davantage la couverture, revendiquant un nouveau record mondial pour la plus petite couverture convexe d’ensembles de diamètre 1, un record que Gibbs lui-même a rapidement amélioré en supprimant encore plus de surface inutile.

La bonne nouvelle, c’est que nous continuons à trouver des morceaux de l’hexagone de Pál à découper. La mauvaise nouvelle est que ces morceaux sont très petits. Les travaux de Sprague ont réduit la surface de la couverture d’environ 0,001 unité carrée, et ceux de Hansen ne l’ont réduite que de 0,00000000004 unité carrée. Gibbs et ses collaborateurs ont réduit la couverture de Hansen d’environ 0,00002 unité carrée, ce qui semble être une énorme réduction en comparaison.

Jusqu’où peuvent-ils descendre ? En 2005, Peter Brass et Mehrbod Sharifi ont prouvé qu’aucune couverture universelle ne pouvait être inférieure à 0,832 unité carrée, donc nous savons que nous ne pouvons pas couper trop loin du record actuel. Mais si vous parvenez à trouver une nouvelle technique ou un nouveau point de départ, vous pourrez peut-être nous rapprocher de la couverture universelle minimale et ainsi vous approprier un pan de l’histoire des mathématiques. N’oubliez pas que le plus difficile est d’imaginer les innombrables façons dont un ensemble de diamètre 1 pourrait prendre forme. Et de vous assurer que vous avez couvert toutes les possibilités.