Le début de la géométrie grecque

Les Égyptiens et les Babyloniens n’étaient pas vraiment intéressés par la découverte des axiomes et des principes sous-jacents régissant la géométrie. Leur approche était très pragmatique et visait essentiellement des utilisations pratiques. Les Babyloniens, par exemple, partaient du principe que Pi valait exactement 3, et ne voyaient aucune raison de changer cela. Les mathématiciens égyptiens n’avaient aucune structure pour leur géométrie, juste une collection de règles et de solutions visant des circonstances spécifiques, comme le calcul du volume d’une pyramide tronquée. Ils utilisaient également la trigonométrie à ce moment-là, dans le développement d’un sous-ensemble de la géométrie, pour l’arpentage et pour mesurer les dimensions des pyramides.

Ces cultures ne semblaient pas utiliser un raisonnement déductif pour découvrir des techniques géométriques à partir de premiers principes. Au lieu de cela, ils utilisaient des essais et des erreurs et, si une solution n’était pas facilement disponible, utilisaient des essais et des erreurs pour arriver à une approximation. Cependant, ces cultures ont jeté les bases de la géométrie grecque et ont influencé les Grecs, qui allaient apporter une méthodologie déductive à la géométrie, en essayant de trouver des règles élégantes qui sous-tendent le domaine.

La géométrie grecque primitive. Géométrie

Thalès de Milet (Domaine public)

L’histoire ancienne de la géométrie grecque n’est pas claire, car il ne reste aucune source d’information originale et toutes nos connaissances proviennent de sources secondaires écrites de nombreuses années après la période initiale. Cependant, nous pouvons tout de même voir une vue d’ensemble décente et aussi commencer à examiner certains des grands noms, les mathématiciens grecs qui façonneront le cours de la géométrie grecque.

Le premier, et l’un des plus grands noms, est Thalès de Milet, un mathématicien vivant au 6e siècle avant notre ère. Il est considéré comme le père de la géométrie et a commencé à utiliser la déduction à partir des premiers principes. On pense qu’il a voyagé en Égypte et à Babylone, ramassant les techniques géométriques de ces cultures, et il aurait certainement eu accès à leurs travaux.

Thalès croyait fermement que le raisonnement devait supplanter l’expérimentation et l’intuition, et a commencé à chercher des principes solides sur lesquels il pourrait construire des théorèmes. Il introduisit ainsi l’idée de preuve en géométrie et proposa quelques axiomes qu’il considérait comme des vérités mathématiques.

• Un cercle est bissecté par l’un quelconque de ses diamètres
• Les angles de base d’un triangle isocèle sont égaux
• Lorsque deux lignes droites se croisent, les angles opposés sont égaux
• Un angle tracé dans un semicercle est un angle droit
• Deux triangles ayant un côté égal et deux angles égaux sont congruents

On attribue à Thalès la conception d’une méthode pour trouver la hauteur d’un navire en mer, une technique qu’il a utilisée pour mesurer la hauteur d’une pyramide, à la grande joie des Égyptiens. Pour cela, il devait comprendre les proportions et éventuellement les règles régissant les triangles semblables, l’une des bases de la trigonométrie et de la géométrie.

On ne sait pas exactement comment Thalès a décidé que les axiomes ci-dessus étaient des preuves irréfutables, mais ils ont été incorporés dans le corps des mathématiques grecques et l’influence de Thalès influencerait d’innombrables générations de mathématiciens.

Pythagore

Pythagore (Domaine public)

Probablement le nom le plus célèbre au cours du développement de la géométrie grecque est Pythagore, ne serait-ce que pour la célèbre loi sur les triangles à angle droit. Ce mathématicien vivait dans une société secrète qui se donnait une mission semi-religieuse. A partir de là, les pythagoriciens ont développé un certain nombre d’idées et ont commencé à développer la trigonométrie. Les pythagoriciens ont ajouté quelques nouveaux axiomes au stock de connaissances géométriques.

• La somme des angles internes d’un triangle est égale à deux angles droits *(180o).
• La somme des angles externes d’un triangle est égale à quatre angles droits (360o).
• La somme des angles intérieurs de tout polygone est égale à 2n-4 angles droits, où n est le nombre de côtés.
• La somme des angles extérieurs d’un polygone est égale à quatre angles droits, quel que soit le nombre de côtés.
• Les trois polygones, le triangle, l’hexagone et le carré remplissent complètement l’espace autour d’un point sur un plan – six triangles, quatre carrés et trois hexagones. En d’autres termes, vous pouvez carreler une zone avec ces trois formes, sans laisser de vides ni avoir de chevauchements.
• Pour un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

La plupart de ces règles sont instantanément familières à la plupart des étudiants, en tant que principes de base de la géométrie et de la trigonométrie. L’un de ses élèves, Hippocrate, a poussé plus loin le développement de la géométrie. Il a été le premier à commencer à utiliser des techniques géométriques dans d’autres domaines des mathématiques, comme la résolution d’équations quadratiques, et il a même commencé à étudier le processus d’intégration. Il a étudié le problème de la quadrature du cercle (dont nous savons maintenant qu’il est impossible, simplement parce que Pi est un nombre irrationnel). Il a résolu le problème de la quadrature d’une lune et a montré que le rapport des aires de deux cercles était égal au rapport entre les carrés des rayons des cercles.

Euclide

Euclide voulait que tous les énoncés mathématiques soient prouvés (Éléments d’Euclide)

A côté de Pythagore, Euclide est un nom très célèbre dans l’histoire de la géométrie grecque. Il a rassemblé les travaux de tous les mathématiciens précédents et a créé son œuvre phare, « Les Éléments », qui est certainement l’un des livres les plus publiés de tous les temps. Dans cet ouvrage, Euclide a défini l’approche de la géométrie et des mathématiques pures en général, en proposant que toutes les déclarations mathématiques soient prouvées par le raisonnement et qu’aucune mesure empirique ne soit nécessaire. Cette idée de preuve domine encore les mathématiques pures dans le monde moderne.

Archimède

Archimède était un grand mathématicien et était un maître dans la visualisation et la manipulation de l’espace. Il a perfectionné les méthodes d’intégration et a conçu des formules pour calculer les surfaces de nombreuses formes et les volumes de nombreux solides. Il utilisait souvent la méthode de l’épuisement pour découvrir des formules. Par exemple, il a trouvé un moyen de calculer mathématiquement l’aire sous une courbe parabolique ; il a calculé une valeur pour Pi plus précisément que tout autre mathématicien précédent ; et il a prouvé que l’aire d’un cercle est égale à Pi multiplié par le carré de son rayon. Il a également démontré que le volume d’une sphère est égal aux deux tiers du volume d’un cylindre de même hauteur et de même rayon. Cette dernière découverte a été gravée sur sa pierre tombale.

Apollonius de Perge (262 – 190 avant notre ère)

Appolonius de Perge (Domaine public)

Apollonius était un mathématicien et un astronome, et il a écrit un traité appelé « Sections coniques ».’ On attribue à Apollonius l’invention des mots ellipse, parabole et hyperbole, et on le surnomme souvent le Grand Géomètre. Il a également beaucoup écrit sur les idées de tangentes aux courbes, et ses travaux sur les coniques et les paraboles influenceront les savants islamiques ultérieurs et leurs travaux sur l’optique.

La géométrie grecque et son influence

La géométrie grecque a fini par passer entre les mains des grands savants islamiques, qui l’ont traduite et complétée. Dans cette étude de la géométrie grecque, il y avait beaucoup plus de mathématiciens et de géomètres grecs qui ont contribué à l’histoire de la géométrie, mais ces noms sont les véritables géants, ceux qui ont développé la géométrie telle que nous la connaissons aujourd’hui.