En mathématiques, une hélice est une courbe dans un espace à 3 dimensions. La paramétrisation suivante en coordonnées cartésiennes définit une hélice particulière ; l’équation la plus simple est peut-être

x ( t ) = cos ( t ) , {\displaystyle x(t)=\cos(t),\,}

y ( t ) = sin ( t ) , {\displaystyle y(t)=\sin(t),\,}

z ( t ) = t . {\displaystyle z(t)=t.\,}

A mesure que le paramètre t augmente, le point (x(t),y(t),z(t)) trace une hélice droite de pas 2π (ou pente 1) et de rayon 1 autour de l’axe z, dans un système de coordonnées droites.

En coordonnées cylindriques (r, θ, h), la même hélice est paramétrée par :

r ( t ) = 1 , {\displaystyle r(t)=1,\,}

θ ( t ) = t , {\displaystyle \theta (t)=t,\,}

h ( t ) = t . {\displaystyle h(t)=t.\,}

Une hélice circulaire de rayon a et de pente b/a (ou de pas 2πb) est décrite par la paramétrisation suivante :

x ( t ) = a cos ( t ) , {\displaystyle x(t)=a\cos(t),\,}

y ( t ) = a sin ( t ) , {\displaystyle y(t)=a\sin(t),\,}

z ( t ) = b t . {\displaystyle z(t)=bt.\,}

Une autre façon de construire mathématiquement une hélice est de tracer la fonction à valeur complexe exi en fonction du nombre réel x (voir la formule d’Euler).La valeur de x et les parties réelle et imaginaire de la valeur de la fonction donnent à ce tracé trois dimensions réelles.

Sauf pour les rotations, les translations et les changements d’échelle, toutes les hélices droites sont équivalentes à l’hélice définie ci-dessus. L’hélice gauchère équivalente peut être construite de plusieurs façons, la plus simple étant de nier l’une quelconque des composantes x, y ou z.

Longueur d’arc, courbure et torsionModification

La longueur d’une hélice circulaire de rayon a et de pente b/a (ou de pas 2πb) exprimée en coordonnées rectangulaires sous la forme

t ↦ ( a cos t , a sin t , b t ) , t ∈ {\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in }.

Equals T ⋅ a 2 + b 2 {\displaystyle T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}

, sa courbure est | a | a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}

et sa torsion est b a 2 + b 2 . {\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}.}

Une hélice a une courbure et une torsion constantes non nulles.

Une hélice est la fonction à valeur vectorielle

r = a cos t i + a sin t j + b t k {\displaystyle \mathbf {r} =a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} }

v = – a sin t i + a cos t j + b k {\displaystyle \mathbf {v} =-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} }

a = – a cos t i – a sin t j + 0 k {\displaystyle \mathbf {a} =-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} }

v | = ( – a sin t ) 2 + ( a cos t ) 2 + b 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

a | = ( – a sin t ) 2 + ( a cos t ) 2 = a {\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a}

s ( t ) = ∫ 0 t a 2 + b 2 d τ = a 2 + b 2 t {\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t}

Donc une hélice peut être reparamétrée en fonction de s {\displaystyle s}

, qui doit être l’unité de vitesse :

r ( s ) = a cos s a 2 + b 2 i + a sin s a 2 + b 2 j + b s a 2 + b 2 k {\displaystyle \mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}} } }

Le vecteur tangent unitaire est

d r d s = T = – a a 2 + b 2 sin s a 2 + b 2 i + a a 2 + b 2 cos s a 2 + b 2 j + b a 2 + b 2 k {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r}}. }{ds}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i}} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} } } }

Le vecteur normal est

d T d s = κ N = – a a 2 + b 2 cos s a 2 + b 2 i + – a a 2 + b 2 sin s a 2 + b 2 j + 0 k {\displaystyle {\frac {d\mathbf {T}}={kfrac {d\mathbf {T}}}. }{ds}}={kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i}} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }

Sa courbure est | d T d s | = κ = | a | a 2 + b 2 {\displaystyle {\bigg |}{\frac {d\mathbf {T}} }{ds}}{\bigg |}=\kappa ={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}

.

Le vecteur normal unitaire est

N = – cos s a 2 + b 2 i – sin s a 2 + b 2 j + 0 k {\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }

Le vecteur binormal est

B = T × N = 1 a 2 + b 2 {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} ={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\bigg }}