Biographie

Le nom complet d’Omar Khayyam était Ghiyath al-Din Abu’l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami. La traduction littérale du nom al-Khayyami (ou al-Khayyam) signifie « fabricant de tentes », ce qui pourrait être le métier d’Ibrahim, son père. Khayyam a joué sur la signification de son propre nom lorsqu’il a écrit :-

Khayyam, qui a cousu les tentes de la science,
est tombé dans la fournaise du chagrin et a été soudainement brûlé,
Les cisailles du Destin ont coupé les cordes de la tente de sa vie,
et le courtier de l’Espoir l’a vendu pour rien !

Les événements politiques du 11ème siècle ont joué un rôle majeur dans le cours de la vie de Khayyam. Les Turcs seldjoukides étaient des tribus qui ont envahi le sud-ouest de l’Asie au 11e siècle et ont fini par fonder un empire qui comprenait la Mésopotamie, la Syrie, la Palestine et la majeure partie de l’Iran. Les Seldjoukides ont occupé les pâturages du Khorasan, puis, entre 1038 et 1040, ils ont conquis tout le nord-est de l’Iran. Le souverain seldjoukide Toghrïl Beg se proclame sultan à Nishapur en 1038 et entre à Bagdad en 1055. C’est dans cet empire militaire instable et difficile, qui connaît également des problèmes religieux en tentant d’établir un État musulman orthodoxe, que grandit Khayyam.
Khayyam étudie la philosophie à Nishapur et l’un de ses condisciples écrit qu’il était :-

…. doté d’un esprit vif et des plus hauts pouvoirs naturels …

Cependant, ce n’était pas un empire dans lequel les personnes érudites, même celles aussi érudites que Khayyam, trouvaient la vie facile à moins d’avoir le soutien d’un souverain dans l’une des nombreuses cours. Même un tel patronage n’offrait pas une grande stabilité, car la politique locale et la fortune du régime militaire local déterminaient qui détenait le pouvoir à un moment donné. Khayyam lui-même a décrit les difficultés rencontrées par les hommes de science à cette époque dans l’introduction de son Traité de démonstration des problèmes d’algèbre (voir par exemple ) :-

Je n’ai pas pu me consacrer à l’apprentissage de cette algèbre et à la concentration continue sur elle, à cause d’obstacles dans les aléas du temps qui m’ont gêné ; car nous avons été privés de tous les gens du savoir, à l’exception d’un groupe, petit en nombre, avec beaucoup de soucis, dont le souci dans la vie est de saisir l’occasion, quand le temps est endormi, de se consacrer entre-temps à l’investigation et au perfectionnement d’une science ; car la majorité des gens qui imitent les philosophes confondent le vrai et le faux, et ils ne font que tromper et prétendre à la connaissance, et ils n’utilisent pas ce qu’ils savent des sciences, sauf à des fins viles et matérielles ; et s’ils voient une certaine personne rechercher le droit et préférer la vérité, faire de son mieux pour réfuter le faux et le mensonge et laisser de côté l’hypocrisie et la tromperie, ils la ridiculisent et se moquent d’elle.

Cependant, Khayyam était un mathématicien et un astronome hors pair et, malgré les difficultés qu’il décrit dans cette citation, il a écrit plusieurs ouvrages dont les Problèmes d’arithmétique, un livre sur la musique et un sur l’algèbre avant l’âge de 25 ans. En 1070, il s’installe à Samarkand, en Ouzbékistan, l’une des plus anciennes villes d’Asie centrale. Là, Khayyam a été soutenu par Abu Tahir, un éminent juriste de Samarkand, ce qui lui a permis d’écrire son ouvrage d’algèbre le plus célèbre, le Traité de démonstration des problèmes d’algèbre dont nous avons donné la citation ci-dessus. Nous décrirons le contenu mathématique de cet ouvrage plus loin dans cette biographie.
Toghril Beg, le fondateur de la dynastie seldjoukide, avait fait d’Ispahan la capitale de ses domaines et son petit-fils Malik-Shah fut le souverain de cette ville à partir de 1073. Une invitation a été envoyée à Khayyam par Malik-Shah et par son vizir Nizam al-Mulk demandant à Khayyam de se rendre à Ispahan pour y établir un observatoire. D’autres astronomes de premier plan furent également amenés à l’observatoire d’Ispahan et, pendant 18 ans, Khayyam dirigea les scientifiques et produisit des travaux d’une qualité exceptionnelle. C’était une période de paix pendant laquelle la situation politique a permis à Khayyam de se consacrer entièrement à ses travaux savants.
Pendant cette période, Khayyam a dirigé les travaux de compilation des tables astronomiques et il a également contribué à la réforme du calendrier en 1079. Cowell cite The Calcutta Review No 59:-

Lorsque le Malik Shah décida de réformer le calendrier, Omar fut l’un des huit savants employés pour le faire, le résultat fut l’ère Jalali (ainsi appelée de Jalal-ud-din, l’un des noms du roi) –  » un calcul du temps, dit Gibbon, qui surpasse le julien, et s’approche de la précision du style grégorien.’

Khayyam a mesuré la durée de l’année à 365,24219858156 jours. Deux commentaires sur ce résultat. Tout d’abord, cela montre une confiance incroyable pour tenter de donner le résultat à ce degré de précision. Nous savons maintenant que la durée de l’année change à la sixième décimale au cours de la vie d’une personne. Deuxièmement, il est d’une précision exceptionnelle. A titre de comparaison, la longueur de l’année à la fin du 19ème siècle était de 365,242196 jours, alors qu’aujourd’hui elle est de 365,242190 jours.
En 1092, des événements politiques mettent fin à la période d’existence paisible de Khayyam. Malik-Shah est mort en novembre de cette année-là, un mois après que son vizir Nizam al-Mulk ait été assassiné sur la route d’Ispahan à Bagdad par le mouvement terroriste appelé les Assassins. La seconde épouse de Malik-Shah a pris le pouvoir pendant deux ans, mais elle s’était disputée avec Nizam al-Mulk, si bien que ceux qu’il avait soutenus se sont vus retirer ce soutien. Le financement de l’Observatoire cesse et la réforme du calendrier de Khayyam est mise en attente. Khayyam fait également l’objet d’attaques de la part des musulmans orthodoxes qui estiment que l’esprit interrogatif de Khayyam n’est pas conforme à la foi. Il a écrit dans son poème le Rubaiyat :-

En effet, les idoles que j’ai aimées si longtemps
Ont fait beaucoup de tort à mon crédit dans l’œil des hommes:
On a noyé mon honneur dans une coupe peu profonde,
Et vendu ma réputation pour une chanson.

Malgré le fait qu’il n’était pas apprécié de tous, Khayyam reste à la Cour et tente de regagner les faveurs. Il a écrit une œuvre dans laquelle il décrit les anciens souverains d’Iran comme des hommes de grand honneur qui avaient soutenu les travaux publics, la science et l’érudition.
Le troisième fils de Malik-Shah, Sanjar, qui était gouverneur du Khorasan, est devenu le souverain global de l’empire seldjoukide en 1118. Quelque temps après, Khayyam quitta Ispahan et se rendit à Merv (aujourd’hui Mary, au Turkménistan) dont Sanjar avait fait la capitale de l’empire seldjoukide. Sanjar a créé un grand centre d’apprentissage islamique à Merv où Khayyam a écrit d’autres travaux sur les mathématiques.
Le document de Khayyam est un travail précoce sur l’algèbre écrit avant son célèbre texte d’algèbre. Il y considère le problème suivant :-

Trouver un point sur un quadrant d’un cercle de telle manière que lorsqu’une normale est déposée du point à l’un des rayons limitrophes, le rapport de la longueur de la normale à celle du rayon est égal au rapport des segments déterminés par le pied de la normale.

Khayyam montre que ce problème est équivalent à la résolution d’un second problème:-

Trouve un triangle rectangle ayant la propriété que l’hypoténuse est égale à la somme d’un pied plus l’altitude sur l’hypoténuse.

Ce problème a conduit à son tour Khayyam à résoudre l’équation cubique x3+200x=20×2+2000x^{3}. + 200x = 20x^{2} + 2000×3+200x=20×2+2000 et il a trouvé une racine positive de cette cubique en considérant l’intersection d’une hyperbole rectangulaire et d’un cercle. Une solution numérique approximative a ensuite été trouvée par interpolation dans les tables trigonométriques. Ce qui est peut-être encore plus remarquable, c’est que Khayyam affirme que la solution de cette cubique nécessite l’utilisation de sections coniques et qu’elle ne peut être résolue par les méthodes de la règle et du compas, un résultat qui ne sera prouvé que 750 ans plus tard. Khayyam a également écrit qu’il espérait donner une description complète de la solution des équations cubiques dans un ouvrage ultérieur :-

Si l’occasion se présente et que je peux réussir, je donnerai toutes ces quatorze formes avec toutes leurs branches et leurs cas, et comment distinguer ce qui est possible ou impossible de sorte qu’un papier, contenant des éléments très utiles dans cet art sera préparé.

Indeed Khayyam a effectivement produit un tel ouvrage, le Traité de démonstration des problèmes d’algèbre qui contenait une classification complète des équations cubiques avec des solutions géométriques trouvées au moyen de sections coniques sécantes. En fait, Khayyam donne un récit historique intéressant dans lequel il affirme que les Grecs n’avaient rien laissé sur la théorie des équations cubiques. En effet, comme l’écrit Khayyam, les contributions d’auteurs antérieurs comme al-Mahani et al-Khazin consistaient à traduire des problèmes géométriques en équations algébriques (ce qui était essentiellement impossible avant les travaux d’al-Khwarizmi). Cependant, Khayyam lui-même semble avoir été le premier à concevoir une théorie générale des équations cubiques. Khayyam a écrit (voir par exemple ou ):-

Dans la science de l’algèbre, on rencontre des problèmes dépendant de certains types de théorèmes préliminaires extrêmement difficiles, dont la solution a été infructueuse pour la plupart de ceux qui l’ont tentée. Quant aux Anciens, aucun ouvrage d’eux traitant de ce sujet ne nous est parvenu ; peut-être qu’après avoir cherché des solutions et les avoir examinées, ils n’ont pu sonder leurs difficultés ; ou peut-être que leurs investigations ne nécessitaient pas un tel examen ; ou enfin, leurs ouvrages sur ce sujet, s’ils ont existé, n’ont pas été traduits dans notre langue.

Un autre exploit dans le texte d’algèbre est la réalisation par Khayyam qu’une équation cubique peut avoir plus d’une solution. Il a démontré l’existence d’équations ayant deux solutions, mais malheureusement il ne semble pas avoir trouvé qu’une cubique puisse avoir trois solutions. Il a tout de même espéré que des « solutions arithmétiques » pourraient être trouvées un jour lorsqu’il a écrit (voir par exemple ):-

Peut-être que quelqu’un d’autre qui viendra après nous le découvrira dans le cas, où il n’y a pas seulement les trois premières classes de puissances connues, à savoir le nombre, la chose et le carré.

Le « quelqu’un d’autre qui vient après nous » était en fait del Ferro, Tartaglia et Ferrari au 16ème siècle. Dans son livre d’algèbre, Khayyam fait également référence à une autre de ses œuvres, aujourd’hui perdue. Dans cette œuvre perdue, Khayyam discute du triangle de Pascal mais il n’était pas le premier à le faire puisque al-Karaji a discuté du triangle de Pascal avant cette date. En fait, nous pouvons être sûrs que Khayyam a utilisé une méthode pour trouver les racines n-ième basée sur l’expansion binomiale, et donc sur les coefficients binomiaux. Cela résulte du passage suivant de son livre d’algèbre (voir par exemple , ou ):-

Les Indiens possèdent des méthodes pour trouver les côtés des carrés et des cubes basées sur cette connaissance des carrés de neuf figures, c’est-à-dire le carré de 1, 2, 3, etc. et aussi les produits formés en les multipliant entre eux, c’est-à-dire les produits de 2, 3, etc. J’ai composé un ouvrage pour démontrer l’exactitude de ces méthodes, et j’ai prouvé qu’elles conduisent effectivement au but cherché. J’ai de plus augmenté les espèces, c’est-à-dire que j’ai montré comment trouver les côtés du carré-carré, du quatro-cube, du cubo-cube, etc. à n’importe quelle longueur, ce qui n’a pas été fait jusqu’ici. les preuves que j’ai données à cette occasion ne sont que des preuves arithmétiques basées sur les parties arithmétiques des « Éléments » d’Euclide.

Dans les Commentaires sur les postulats difficiles du livre d’Euclide, Khayyam a apporté une contribution à la géométrie non-euclidienne, bien que ce ne soit pas son intention. En essayant de prouver le postulat des parallèles, il a accidentellement prouvé les propriétés des figures dans les géométries non-euclidiennes. Khayyam a également donné des résultats importants sur les rapports dans ce livre, étendant le travail d’Euclide pour inclure la multiplication des rapports. L’importance de la contribution de Khayyam réside dans le fait qu’il a examiné à la fois la définition de l’égalité des rapports d’Euclide (qui était celle proposée pour la première fois par Eudoxus) et la définition de l’égalité des rapports proposée par des mathématiciens islamiques antérieurs tels qu’al-Mahani, qui était basée sur les fractions continues. Khayyam a prouvé que les deux définitions sont équivalentes. Il a également posé la question de savoir si un rapport peut être considéré comme un nombre mais laisse la question sans réponse.
En dehors du monde des mathématiques, Khayyam est surtout connu suite à la traduction populaire d’Edward Fitzgerald en 1859 de près de 600 courts poèmes de quatre lignes les Rubaiyat. La renommée de Khayyam en tant que poète a fait oublier ses réalisations scientifiques, qui étaient bien plus importantes. Des versions des formes et des vers utilisés dans les Rubaiyat existaient dans la littérature persane avant Khayyam, et seuls environ 120 des vers peuvent lui être attribués avec certitude. De tous ces vers, le plus connu est le suivant :-

Le doigt mobile écrit, et, ayant écrit,
se déplace : ni toute ta piété ni ton esprit
ne l’attireront pour annuler une demi-ligne,
ni toutes tes larmes n’en laveront un mot.

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