En mécanique newtonienne, pour un mouvement harmonique simple à une dimension, l’équation du mouvement, qui est une équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre à coefficients constants, peut être obtenue au moyen de la 2e loi de Newton et de la loi de Hooke pour une masse sur un ressort.

F n e t = m d 2 x d t 2 = – k x , {\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d}}}. }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}

où m est la masse inertielle du corps oscillant, x est son déplacement par rapport à la position d’équilibre (ou moyenne), et k est une constante (la constante de rappel pour une masse sur un ressort).

C’est pourquoi,

d 2 x d t 2 = – k m x , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}. ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}}x,}

La résolution de l’équation différentielle ci-dessus produit une solution qui est une fonction sinusoïdale :

x ( t ) = c 1 cos ( ω t ) + c 2 sin ( ω t ) , {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),\qquad }

où ω = k m . {\displaystyle \qquad \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}

La signification des constantes c 1 {\displaystyle c_{1}}

et c 2 {\displaystyle c_{2}}

peuvent être facilement trouvés : en fixant t = 0 {\displaystyle t=0}

sur l’équation ci-dessus on voit que x ( 0 ) = c 1 {\displaystyle x(0)=c_{1}}

, donc que c 1 {\displaystyle c_{1}}

est la position initiale de la particule, c 1 = x 0 {\displaystyle c_{1}=x_{0}}

; en prenant la dérivée de cette équation et en l’évaluant à zéro on obtient que x ˙ ( 0 ) = ω c 2 {\displaystyle {\dot {x}}(0)=\omega c_{2}}

, de sorte que c 2 {\displaystyle c_{2}}

est la vitesse initiale de la particule divisée par la fréquence angulaire, c 2 = v 0 ω {\displaystyle c_{2}={frac {v_{0}}{{omega }}

. On peut donc écrire : x ( t ) = x 0 cos ( k m t ) + v 0 k m sin ( k m t ) . {\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}

Cette équation peut aussi être écrite sous la forme :

x ( t ) = A cos ( ω t – φ ) , {\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}

où

A = c 1 2 + c 2 2 , tan φ = c 2 c 1 , {\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}},\qquad \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},}

Dans la solution, c1 et c2 sont deux constantes déterminées par les conditions initiales (plus précisément, la position initiale au temps t = 0 est c1, tandis que la vitesse initiale est c2ω), et l’origine est fixée à la position d’équilibre. Chacune de ces constantes porte une signification physique du mouvement : A est l’amplitude (déplacement maximal par rapport à la position d’équilibre), ω = 2πf est la fréquence angulaire, et φ est la phase initiale.

En utilisant les techniques du calcul, on peut trouver la vitesse et l’accélération en fonction du temps :

v ( t ) = d x d t = – A ω sin ( ω t – φ ) , {\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),}

Vitesse :

ω A 2 – x 2 {\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}

Vitesse maximale : v=ωA (au point d’équilibre)

a ( t ) = d 2 x d t 2 = – A ω 2 cos ( ω t – φ ) . {\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}

Accélération maximale : Aω2 (aux points extrêmes)

Par définition, si une masse m est sous SHM son accélération est directement proportionnelle au déplacement.

a ( x ) = – ω 2 x . {\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}