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Euclides, de Sanzio

br>>>p>Euclides, ilustrando a geometria em “A Escola de Atenas”, por Raffaello Sanzio (Domínio Público)

Certo, para medir limites e para erguer edifícios, os seres humanos precisam de ter algum mecanismo e instinto para julgar distâncias, ângulos, e altura. À medida que as civilizações se foram desenvolvendo, estes instintos foram sendo aumentados por observações e procedimentos obtidos a partir da experiência, experimentação e intuição. Os babilónios eram certamente geómetros habilidosos, e os egípcios desenvolveram uma matemática rica e complexa baseada em torno da topografia. Ambas as culturas passariam a sua informação aos gregos.

O Início da Geometria Grega

Os egípcios e os babilónios não estavam realmente interessados em descobrir axiomas e princípios subjacentes que governassem a geometria. A sua abordagem era muito pragmática e visava muito os usos práticos. Os babilónios, por exemplo, assumiram que Pi era exactamente 3, e não viram razão para mudar isto. Os matemáticos egípcios não tinham estrutura para a sua geometria, apenas um conjunto de regras e soluções destinadas a circunstâncias específicas, tais como o cálculo do volume de uma pirâmide truncada. Utilizaram também a trigonometria nesse ponto, no desenvolvimento de um subconjunto de geometria, para levantamento topográfico e para medir as dimensões das pirâmides.

Estas culturas não pareciam utilizar o raciocínio dedutivo para desvendar técnicas geométricas dos primeiros princípios. Em vez disso, utilizaram tentativa e erro e, se uma solução não estava prontamente disponível, utilizaram tentativa e erro para chegar a uma aproximação. Contudo, estas culturas lançaram as bases da geometria grega e influenciaram os gregos, que trariam uma metodologia dedutiva à geometria, tentando encontrar regras elegantes que sustentassem o campo.

Euro grego Geometria

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Tales

br>>>p>Tales of Miletus (Domínio Público)br>

A história inicial da geometria grega não é clara, porque não restam fontes originais de informação e todo o nosso conhecimento provém de fontes secundárias escritas muitos anos após o período inicial. No entanto, ainda podemos ver uma panorâmica decente e também começar a olhar para alguns dos grandes nomes, os matemáticos gregos que moldariam o curso da geometria grega.

O primeiro, e um dos maiores nomes, é Thales of Miletus, um matemático que vive no século VI a.C. É considerado o pai da geometria e iniciou o processo de utilização da dedução dos primeiros princípios. Acredita-se que ele viajou para o Egipto e Babilónia, captando técnicas geométricas destas culturas, e certamente teria tido acesso ao seu trabalho.

Thales acreditava fortemente que o raciocínio devia substituir a experimentação e a intuição, e começou a procurar princípios sólidos sobre os quais pudesse construir teoremas. Isto introduziu a ideia da prova na geometria e propôs alguns axiomas que ele acreditava serem verdades matemáticas.

• Um círculo é dividido por qualquer um dos seus diâmetros
• Os ângulos de base de um triângulo isósceles são iguais
• Quando duas linhas rectas se cruzam, os ângulos opostos são iguais
• Um ângulo desenhado num semi-ângulocírculo é um ângulo recto
• Dois triângulos com um lado igual e dois ângulos iguais são congruentes

É atribuída a Thales a concepção de um método para encontrar a altura de um navio no mar, uma técnica que ele utilizava para medir a altura de uma pirâmide, muito para o deleite dos egípcios. Para isso, teve de compreender a proporção e possivelmente as regras que regem triângulos semelhantes, um dos princípios básicos da trigonometria e geometria.

Não é claro exactamente como Thales decidiu que os axiomas acima referidos eram provas irrefutáveis, mas foram incorporados no corpo da matemática grega e a influência de Thales iria influenciar inúmeras gerações de matemáticos.

Pythagoras

Moeda de Pitágoras

br>>p>Pythagoras (Domínio Público)br>

Provavelmente o nome mais famoso durante o desenvolvimento da geometria grega é Pitágoras, mesmo que apenas para a famosa lei relativa aos triângulos rectos. Este matemático viveu numa sociedade secreta que assumiu uma missão semi-religiosa. A partir daí, os pitagóricos desenvolveram uma série de ideias e começaram a desenvolver a trigonometria. Os pitagóricos acrescentaram alguns novos axiomas ao armazenamento do conhecimento geométrico.

• A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos rectos *(180o).
• A soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a quatro ângulos rectos (360o).
• A soma dos ângulos interiores de qualquer polígono é igual a 2n-4 ângulos rectos, onde n é o número de lados.
• A soma dos ângulos exteriores de um polígono é igual a quatro ângulos rectos, por muitos lados.
• Os três polígonos, o triângulo, o hexágono e o quadrado preenchem completamente o espaço em torno de um ponto num plano – seis triângulos, quatro quadrados e três hexágonos. Por outras palavras, pode ladrilhar uma área com estas três formas, sem deixar lacunas ou ter sobreposições.
• Para um triângulo em ângulo recto, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.

A maioria destas regras são imediatamente familiares à maioria dos estudantes, como princípios básicos de geometria e trigonometria. Um dos seus alunos, Hipócrates, levou o desenvolvimento da geometria mais longe. Foi o primeiro a começar a utilizar técnicas geométricas em outras áreas da matemática, tais como a resolução de equações quadráticas, e até começou a estudar o processo de integração. Estudou o problema do quadrado do círculo (que agora sabemos ser impossível, simplesmente porque Pi é um número irracional). Resolveu o problema de Squaring a Lune e mostrou que a proporção das áreas de dois círculos era igual à proporção entre os quadrados dos raios dos círculos.

Euclid

br>>p>Euclid significava que todas as declarações matemáticas deveriam ser provadas (Elementos de Euclid)

Ao lado de Pitágoras, Euclid é um nome muito famoso na história da geometria grega. Ele reuniu o trabalho de todos os anteriores matemáticos e criou a sua obra histórica, ‘Os Elementos’, certamente um dos livros mais publicados de todos os tempos. Nesta obra, Euclides expôs a abordagem da geometria e da matemática pura em geral, propondo que todas as afirmações matemáticas deveriam ser provadas através do raciocínio e que não eram necessárias medições empíricas. Esta ideia de prova ainda domina a matemática pura no mundo moderno.

Arquimedes

Arquimedes foi um grande matemático e foi um mestre na visualização e manipulação do espaço. Aperfeiçoou os métodos de integração e concebeu fórmulas para calcular as áreas de muitas formas e os volumes de muitos sólidos. Utilizou frequentemente o método do esgotamento para desvendar fórmulas. Por exemplo, encontrou uma forma de calcular matematicamente a área debaixo de uma curva parabólica; calculou um valor para Pi com mais precisão do que qualquer matemático anterior; e provou que a área de um círculo é igual a Pi multiplicada pelo quadrado do seu raio. Também mostrou que o volume de uma esfera é dois terços do volume de um cilindro com a mesma altura e raio. Esta última descoberta foi gravada na sua pedra tumular.

Apollonius de Perga (262 – 190 a.C.)

br>>p>Appolonius de Pergia (Domínio Público)br>

Apollonius era um matemático e astrónomo, e escreveu um tratado chamado “Secções Cónicas”.’ Apollonius é creditado por inventar as palavras elipse, parábola, e hipérbole, e é frequentemente referido como o Grande Geómetro. Também escreveu extensivamente sobre as ideias de tangentes a curvas, e o seu trabalho sobre cónicas e parábolas influenciaria os estudiosos islâmicos posteriores e o seu trabalho sobre óptica.

Geometria Grega e a sua Influência

Geometria Grega acabou por passar para as mãos dos grandes estudiosos islâmicos, que a traduziram e lhe acrescentaram. Neste estudo da geometria grega, houve muito mais matemáticos e geómetros gregos que contribuíram para a história da geometria, mas estes nomes são os verdadeiros gigantes, os que desenvolveram a geometria tal como a conhecemos hoje.