Esempio di altezza relativa dei continenti e degli oceani

Perché l’altezza media dei continenti è più alta dell’altezza media degli oceani?

Assumiamo di conoscere tutte le densità del problema, e di conoscere gli spessori della crosta (\(h_{cc} e h_{oc}\) e lo spessore dello strato di acqua \(h_w\).

Dal disegno vediamo che possiamo prendere la profondità di compensazione alla base del continente perché sotto questa profondità non ci sono differenze di densità tra le due colonne

Prima di tutto, scriviamo le somme di pressione per entrambe le colonne e le poniamo uguali:

(qui ho usato il pedice \(L\) invece di \(oL\) per lo spessore e la densità del mantello litosferico nella colonna oceanica.

Poi possiamo annullare tutti i g, e l’equazione \ref{ex1} ora recita:

Ora possiamo vedere che abbiamo 2 incognite, \(h_aria}\) e \(h_L\) e quindi avremo bisogno di una seconda equazione. Lo spessore totale della crosta è uguale alla somma degli spessori nella colonna oceanica:

\

Risolviamo questa equazione per \(h_L\) perché non la conosciamo e non vogliamo conoscerla (vogliamo conoscere \(h_{air}\):

\

Sostituiamo ora l’equazione sopra per \(h_L\) nell’equazione del bilancio della pressione. Questo rimuove \(h_L\) dall’equazione permettendoti di risolvere per i capelli:

\

Nota che ora hai tre termini negativi che dipendono tutti da \(\rho_L\) ma hanno spessori diversi. Il prossimo passo è combinare questi termini con i termini positivi che hanno lo stesso spessore.

Combina i “termini simili”, cioè combina i termini che hanno lo stesso spessore (mantenendo \(h_a\) sul lato sinistro)

Nota che, per gli ultimi tre termini abbiamo tolto il segno negativo davanti, così la differenza di densità è un numero positivo.

Prossimo, riordiniamo aggiungendo il termine negativo \(h_a\) all’altro lato

Infine dividiamo \( (\rho_L-\rho_a) \ per ottenere \(h_a\) da solo:

Nota che tutti i termini sulla destra sono altezze frazionarie ponderate dalla differenza di densità attraverso ogni strato rispetto alla differenza di densità tra l’aria e la crosta continentale. Questo è il risultato di ogni problema di equilibrio isostatico e illustra come si ottiene l’equilibrio di pressione per ogni strato.