Fondamenti di probabilità

La probabilità è la branca della matematica che si occupa della probabilità che certi risultati si verifichino. Ci sono cinque regole di base, o assiomi, che si devono capire quando si studiano i fondamenti della probabilità.

Nella probabilità discreta, assumiamo un esperimento ben definito, come lanciare una moneta o lanciare un dado. Ogni singolo risultato che potrebbe verificarsi è chiamato risultato. L’insieme di tutti i risultati è chiamato spazio campione, e ogni sottoinsieme dello spazio campione è chiamato evento.

Per esempio, consideriamo l’esperimento di lanciare una moneta due volte. Ci sono quattro risultati individuali, cioè \text{HH},\text{HT},\text{TH},\text{TH},\text{TT}. Lo spazio campione è quindi \{testo{HH},\testo{HT},\testo{TH},\testo{TT},\testo{TT}}. L’evento “si verifica almeno una testa” sarebbe l’insieme \\testo{HH},\testo{HT},\testo{TH},\testo{TH}}. Se la moneta fosse una moneta normale, assegneremmo la probabilità di 1/4 ad ogni risultato.

Nella teoria della probabilità, la probabilità \testo{P} di qualche evento \testo{E}, denotata \testo{P} a sinistra (\testo{E} a destra), è solitamente definita in modo tale che \testo{P} soddisfi una serie di assiomi, o regole. Le regole più basilari e più importanti sono elencate qui sotto.

Regole di probabilità

La probabilità è un numero. È sempre maggiore o uguale a zero e minore o uguale a uno. Può essere scritto come 0\leq{testo{P}} a sinistra(\testo{A} a destra)\geq{1}. Un evento impossibile, o un evento che non si verifica mai, ha una probabilità di 0. Un evento che si verifica sempre ha una probabilità di 1. Un evento con una probabilità di 0,5 si verifica la metà delle volte.

La somma delle probabilità di tutte le possibilità deve essere uguale a 1. Qualche risultato deve verificarsi in ogni prova, e la somma di tutte le probabilità è 100%, o in questo caso, 1. Questo può essere scritto come \testo{P}(\testo{S} a destra)=1, dove \testo{S} rappresenta l’intero spazio campione.

Se due eventi non hanno esiti in comune, la probabilità che uno o l’altro si verifichi è la somma delle loro probabilità individuali. Se un evento si verifica nel 30% delle prove, un evento diverso si verifica nel 20% delle prove, e i due non possono verificarsi insieme (se sono disgiunti), allora la probabilità che uno o l’altro si verifichi è 30%+20%=50%. A volte ci si riferisce a questo come alla regola dell’addizione, e può essere semplificata con la seguente: \testo{P}sinistra({testo{A}} o {testo{ B}}}destra)=testo{P}sinistra(\testo{A}destra)+testo{P}sinistra(\testo{B}destra). La parola “o” significa in matematica la stessa cosa dell’unione, che usa il seguente simbolo: \cup. Così, quando \testo{A} e \testo{B} sono disgiunti, si ha \testo{P}left(\testo{A}cup{\testo{B}}destra)= \testo{P}left(\testo{A}destra)+{P}left(\testo{B}destra). La probabilità che un evento non si verifichi è 1 meno la probabilità che l’evento si verifichi. Se un evento si verifica nel 60% di tutte le prove, non si verifica nel restante 40%, perché 100%-60%=40%. La probabilità che un evento si verifichi e la probabilità che non si verifichi si sommano sempre al 100%, o 1. Questi eventi sono chiamati eventi complementari, e questa regola è talvolta chiamata regola del complemento. Si può semplificare con \testo{P} a sinistra(\testo{A}^testo{c} a destra)=1-\testo{P} a sinistra(\testo{A} a destra), dove \testo{A}^testo{c} è il complemento di \testo{A}.

Due eventi \testo{A} e \testo{B} sono indipendenti se sapere che uno si verifica non cambia la probabilità che si verifichi l’altro. Questa è spesso chiamata la regola della moltiplicazione. Se \testo{A} e \testo{B} sono indipendenti, allora \testo{P}sinistra(\testo{A} e \testo{ B}destra)= \testo{P}sinistra(\testo{A}destra)\testo{P}sinistra(\testo{B}destra). La parola “e” in matematica significa la stessa cosa dell’intersezione, che usa il seguente simbolo: \cap. Quindi, quando \testo{A} e \testo{B} sono indipendenti, abbiamo \testo{P}sinistra(\testo{A}capo{\testo{B}}destra)= \testo{P}sinistra(\testo{A}destra)\testo{P}sinistra(\testo{B}destra).

Estensione dell’esempio

Elaborando sul nostro esempio precedente del lancio di due monete, assegniamo la probabilità 1/4 a ciascuno dei 4 risultati. Consideriamo ciascuna delle cinque regole precedenti nel contesto di questo esempio.

1. Si noti che ogni probabilità è 1/4, che è tra 0 e 1.

2. Si noti che la somma di tutte le probabilità è 1, poiché \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1.

3. Supponiamo che \testo{A} sia l’evento che si verifica esattamente una testa, e B sia l’evento che si verifica esattamente due code. Allora \testo{A}={testo{HT},\testo{TH}} e \testo{B}={testo{TT}} sono disgiunti. Inoltre, \testo{P}sinistra(\testo{A}cup{\testo{B}}destra)=\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=testo{P}sinistra(\testo{A}destra)+\testo{P}sinistra(\testo{B}destra).

4. La probabilità che non ci siano teste è 1/4, che è uguale a 1-3/4. Quindi se \testo{A}={testo{HT},\testo{TH},\testo{HH}} è l’evento che si verifica una testa, abbiamo \testo{P} a sinistra(\testo{A}^testo{c} a destra)=\frac{1}{4}=1-\frac{3}{4}=1-testo{P} a sinistra(\testo{A} a destra).

5. Se \testo{A} è l’evento che il primo lancio è una testa e \testo{B} è l’evento che il secondo lancio è una testa, allora \testo{A} e \testo{B} sono indipendenti. Abbiamo \testo{A}={testo{HT},\testo{HH}} e \testo{B}={testo{TH},\testo{HH}} e \testo{A}{capo{testo{B}}={testo{HH}}. Note that \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right).

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata di un evento è la probabilità che un evento si verifichi dato che un altro evento si è verificato.

Probabilità di B dato che A si è verificato

La nostra stima della probabilità di un evento può cambiare se sappiamo che qualche altro evento si è verificato. Per esempio, la probabilità che un dado lanciato mostri un 2 è 1/6 senza altre informazioni, ma se qualcuno guarda il dado e vi dice che è un numero pari, la probabilità è ora 1/3 che sia un 2. La notazione \testo{P} a sinistra(\testo{B} a destra) indica una probabilità condizionata, cioè indica la probabilità di un evento sotto la condizione che sappiamo che un altro evento è accaduto. La barra “\mid” può essere letta come “dato”, così che \testo{P}left(\testo{B}mid{\testo{A}}destra) si legge come “la probabilità di \testo{B} dato che \testo{A} si è verificato”.

La probabilità condizionale \testo{P} a sinistra(\testo{B}metà{testo{A}} a destra) di un evento \testo{B}, dato un evento \testo{A}, è definita da:

\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{A}\right)}

Quando \text{P}left(\text{A}\right)>0. Assicuratevi di ricordare i ruoli distinti di \testo{B} e \testo{A} in questa formula. L’insieme dopo la barra è quello che si suppone si sia verificato, e la sua probabilità si verifica nel denominatore della formula.

Indipendenza

La probabilità condizionale \testo{P}sinistra(\testo{B}metà{A}}destra) non è sempre uguale alla probabilità incondizionata \testo{P}destra. La ragione dietro questo è che il verificarsi dell’evento \testo A} può fornire informazioni extra che possono cambiare la probabilità che l’evento \testo B} si verifichi. Se la conoscenza che l’evento \testo{A} si verifica non cambia la probabilità che l’evento \testo{B} si verifichi, allora \testo{A} e \testo{B} sono eventi indipendenti, e quindi, \testo{P}left(\testo{B}metà{testo{A}}}destra)={testo{P}left(\testo{B}}destra).

Teorema di Bayes

Nella teoria della probabilità e nella statistica, il teorema di Bayes (alternativamente legge di Bayes o regola di Bayes) è un risultato importante nella manipolazione matematica delle probabilità condizionali. Può essere derivato dagli assiomi di base della probabilità.

Matematicamente, il teorema di Bayes dà la relazione tra le probabilità di \testo{A} e \testo{B}, \testo{P} a sinistra(\testo{A} a destra) e \testo{P} a sinistra(\testo{B} a destra), e le probabilità condizionali di \testo{A} dato \testo{B} e \testo{B} dato \testo{A}. Nella sua forma più comune, è:

\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}

Questo può essere più facile da ricordare in questa forma simmetrica alternativa:

\frac{\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)}=\frac{\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}

Unioni e intersezioni

Unione e intersezione sono due concetti chiave nella teoria degli insiemi e della probabilità.

La probabilità usa le idee matematiche degli insiemi, come abbiamo visto nella definizione sia dello spazio campione di un esperimento che nella definizione di un evento. Per eseguire i calcoli di probabilità di base, dobbiamo rivedere le idee della teoria degli insiemi relative alle operazioni di unione, intersezione e complemento.

Unione

L’unione di due o più insiemi è l’insieme che contiene tutti gli elementi di ciascun insieme; un elemento è nell’unione se appartiene ad almeno uno degli insiemi. Il simbolo per l’unione è \cup, ed è associato alla parola “o”, perché \testo{A}\cup{{B}} è l’insieme di tutti gli elementi che sono in \testo{A} o \testo{B} (o entrambi.) Per trovare l’unione di due insiemi, elenca gli elementi che sono in uno dei due insiemi (o in entrambi). In termini di diagramma di Venn, l’unione degli insiemi \testo{A} e \testo{B} può essere mostrata come due cerchi ad incastro completamente ombreggiati.

In simboli, poiché l’unione di \testo{A} e \testo{B} contiene tutti i punti che sono in \testo{A} o \testo{B} o entrambi, la definizione di unione è:

\text{A}\cup{\text{B}}=\{\text{x}:\text{x}\in{\text{A}} \oppure

Per esempio, se \testo{A}={1,3,5,7} e \testo{B}={1,2,4,6} , allora \testo{A}{cup{{testo{B}}={1,2,3,4,5,6,7}. Si noti che l’elemento 1 non è elencato due volte nell’unione, anche se appare in entrambi gli insiemi \testo{A} e \testo{B}. Questo ci porta alla regola generale di addizione per l’unione di due eventi:

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)−\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)

dove \testo{P}sinistra(\testo{A}capo{{B}}}destra) è l’intersezione dei due insiemi. Dobbiamo sottrarre questo per evitare il doppio conteggio dell’inclusione di un elemento.

Se gli insiemi \testo{A} e \testo{B} sono disgiunti, tuttavia, l’evento \testo{A}\cap{\testo{B}} non ha esiti in esso, ed è un insieme vuoto denotato come ∅, che ha una probabilità di zero. Quindi, la regola di cui sopra può essere abbreviata solo per gli insiemi disgiunti:

Testo{P}left(\testo{A}cup{\testo{B}}destra)={testo{P}left(\testo{A}destra)+{testo{P}left(\testo{B}destra)

Questo può anche essere esteso a più insiemi se sono tutti disgiunti:

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\cup{\text{C}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)+\text{P}\left(\text{C}\right)

Intersezione

L’intersezione di due o più insiemi è l’insieme degli elementi che sono comuni a ciascuno degli insiemi. Un elemento è nell’intersezione se appartiene a tutti gli insiemi. Il simbolo dell’intersezione è \cap, ed è associato alla parola “e”, perché \testo{A}\cap{B} è l’insieme degli elementi che sono in \testo{A} e \testo{B} contemporaneamente. Per trovare l’intersezione di due (o più) insiemi, includere solo gli elementi che sono elencati in entrambi (o tutti) gli insiemi. In termini di un diagramma di Venn, l’intersezione di due insiemi \testo{A} e \testo{B} può essere mostrata nella regione ombreggiata al centro di due cerchi intrecciati.

In notazione matematica, l’intersezione di \testo{A} e \testo{B} si scrive come \testo{A}{capo{testo{B}}={{testo{x}:\testo{x} in \testo{A} e \testo{x} in \testo{B}}. Per esempio, se \testo{A}={1,3,5,7} e \testo{B}={1,2,4,6}, allora \testo{A}={1} perché 1 è l’unico elemento che appare in entrambi gli insiemi \testo{A} e \testo{B}.

Quando gli eventi sono indipendenti, cioè il risultato di un evento non influenza il risultato di un altro evento, possiamo usare la regola di moltiplicazione per eventi indipendenti, che afferma:

Testo{P}sinistra(\testo{A}capo{B})=testo{P}sinistra(\testo{A}destra)\testo{P}sinistra(\testo{B}destra)

Per esempio, diciamo che stiamo lanciando una moneta due volte, e vogliamo sapere la probabilità che escano due teste. Poiché il primo lancio non influenza il secondo lancio, gli eventi sono indipendenti. Diciamo che è l’evento che il primo lancio è una testa e \testo{B} è l’evento che il secondo lancio è una testa, allora \testo{P} a sinistra(\testo{A}capo{\testo{B}} a destra)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Eventi complementari

Il complemento di \testo{A} è l’evento in cui \testo{A} non si verifica.

Cosa sono gli eventi complementari?

Nella teoria della probabilità, il complemento di qualsiasi evento \testo{A} è l’evento, cioè l’evento in cui \testo{A} non si verifica. L’evento \testo{A} e il suo complemento sono mutuamente esclusivi ed esaustivi, il che significa che se uno si verifica, l’altro no, e che entrambi i gruppi coprono tutte le possibilità. In generale, c’è solo un evento \testo{B} tale che \testo{A} e \testo{B} sono entrambi mutuamente esclusivi ed esaustivi; questo evento è il complemento di \testo{A}. Il complemento di un evento \testo{A} è solitamente indicato come \testo{A}′, \testo{A}^c o \bar{\testo{A}}.