Questo capitolo fornisce concetti di base relativi all’ordine sequenziale. Quattro condizioni di convergenza numerabile molto naturali sono abbastanza note. Uno spazio è innanzitutto contabile se ogni punto ha una base locale contabile. Uno spazio è di Fréchet-Urysohn se ogni punto x è nella chiusura di un insieme esattamente quando esiste una sequenza {an : n ∈ ω} dall’insieme che converge al punto, denotata an → x. Uno spazio ha tenuta numerica se un punto è nella chiusura di un insieme esattamente quando esiste un sottoinsieme numerabile dell’insieme dato che ha anche il punto nella chiusura. La quarta condizione è la proprietà sequenziale. La definizione di questa proprietà la distingue già dalle tre precedenti perché non può essere enunciata solo in termini di un punto fisso e degli insiemi di cui è nella chiusura. Un sottoinsieme A di uno spazio X è sequenzialmente chiuso se ogni sequenza di A che converge in X converge in un punto di A. Uno spazio è sequenziale se ogni sottoinsieme sequenzialmente chiuso è chiuso. In uno spazio sequenziale, la chiusura di un insieme A può essere calcolata iterando l’operazione di aggiunta di punti limite di sequenze convergenti. Questo dà origine alla nozione di ordine sequenziale di uno spazio.