“Ehi – ho dei buchi in alcuni dei miei jeans. Puoi rattopparli per me?” Il tuo amico, che conosce la tua leggendaria abilità con ago e filo, ti chiede aiuto via sms.

“Certo, è facile”, rispondi. “Quanto sono grandi i buchi?”

“Sono tutte forme strane, ma mai più larghe di un centimetro. Passerò più tardi, quindi prepara tutto!”

Vai al tuo kit da cucito e tira fuori delle toppe circolari, ognuna di un pollice di diametro. “Questo dovrebbe bastare”, pensi tra te e te. Ma sarà così? Una toppa circolare di diametro 1 può davvero coprire qualsiasi buco che sia largo al massimo 1 pollice in qualsiasi direzione?

Vedi un’altra toppa nel tuo kit, un triangolo equilatero con i lati di 1 pollice. Osservate che nessun punto del triangolo è distante più di 1 pollice, quindi un buco nei jeans del vostro amico potrebbe avere questa forma. Ma quando tieni un cerotto circolare contro di esso, noti che il cerchio copre due vertici del triangolo, ma il terzo spunta fuori.

Alcuni elementi di geometria confermano che l’altezza del triangolo, $latex \frac{sqrt{3}{2}} pollici, è maggiore del raggio del cerchio, $latex \frac{1}{2} pollici. Il cerchio non può coprire il triangolo, e il triangolo non può nemmeno coprire il cerchio. Dato che un buco può avere entrambe le forme, questo significa che nessuna di queste toppe può coprire ogni possibile buco nei jeans del vostro amico.

Potreste usare una toppa molto grande per essere sicuri, ma non volete sprecare materiale prezioso. Quindi la domanda è: qual è la toppa più piccola necessaria per coprire un buco largo al massimo 1 pollice? Una ricerca online rivela che anche i matematici hanno pensato a questa domanda: Hanno cercato una copertura minima universale per più di 100 anni. Non l’hanno ancora trovata, ma recenti risultati ci stanno avvicinando a questa forma ideale.

Il “problema della copertura universale” fu posto per la prima volta da Henri Lebesgue in una lettera al suo collega Julius Pál nel 1914. Il problema può essere formulato in diversi modi, ma al suo centro c’è la nozione di regione di diametro 1: si tratta di un insieme di punti nel piano in cui non ci sono due punti distanti più di 1 unità, come un buco largo non più di 1 pollice nel nostro problema della toppa dei pantaloni.

Se un insieme di punti può entrare in un altro, diciamo che il secondo insieme “copre” il primo, come una toppa che copre un buco. Una “copertura universale” è una regione che può coprire un intero insieme di forme, come tutte le forme di diametro 1, e il problema della copertura universale di Lebesgue chiede la più piccola regione convessa che fa il trucco. (“Convesso” significa approssimativamente che la copertura non ha rientranze, e “più piccolo” significa di area minima.)

Può sorprendere che un problema di geometria così apparentemente elementare non sia stato risolto in 100 anni. Ma parte di ciò che rende il problema così difficile è che è difficile stabilire esattamente come potrebbe essere una forma di diametro 1. Come abbiamo visto prima, può essere difficile dimostrare teoremi su cose che non si possono immaginare completamente.

Quando si tratta di coprire insiemi di diametro 1, ci sono molte forme che sappiamo funzionare, ma nessuna forma che sappiamo essere minima. Diamo un’occhiata al motivo per cui i matematici stanno avendo difficoltà a ricucire questo problema.

Iniziamo con una regione R di diametro 1. Non abbiamo davvero idea di come potrebbe essere R; sappiamo solo che, proprio come i buchi che stiamo cercando di coprire, non è mai più largo di 1 unità. Ma dato che ha diametro 1, supponiamo che abbia due punti A e B distanti 1 unità.

Ora supponiamo che R contenga un terzo punto C. Dove potrebbe trovarsi C? Non può essere a più di 1 unità da A, il che significa che deve essere nel disco di raggio 1 centrato in A. Puoi costruire questo disco usando un compasso geometrico centrato in A e aperto verso B.

Ma anche C non può essere a più di 1 unità da B, quindi deve essere nel disco di raggio 1 centrato in B, che puoi costruire usando il tuo compasso.

Questo significa che il punto C deve trovarsi nell’intersezione di questi due dischi.

Questo argomento non vale solo per il punto C; vale per ogni possibile punto in R. Quindi ogni punto in R deve trovarsi nell’intersezione di questi due cerchi. In altre parole, questa regione può coprire ogni possibile insieme R di diametro 1 ed è una copertura universale.

Ma questa copertura universale non ha area minima. Vediamo di ridurla.

Notare che i punti di intersezione dei cerchi formano due triangoli equilateri con A e B, e la distanza dall’alto (e dal basso) al centro del segmento AB è $latex \frac{sqrt{3}}{2} unità.

Siccome $latex \frac{sqrt{3}{2} > \frac{1}{2}$ , possiamo disegnare linee parallele $latex \frac{1}{2}$ a unità di distanza da $latex \overline{AB}$ su entrambi i lati in questo modo.

Ora consideriamo le due regioni in rosso, una sopra la linea parallela superiore e l’altra sotto quella inferiore.

Siccome la distanza tra le due linee parallele è 1, un insieme di diametro 1 non può trovarsi in entrambe le regioni rosse allo stesso tempo. Questo significa che non abbiamo bisogno di entrambe le parti rosse per una copertura universale. Possiamo semplicemente tagliarne una.

La nostra copertura originale – l’intersezione dei due dischi – ha area $latex \frac{2\pi}{3}-{frac{sqrt{3}{2} \circa 1,228, e la nostra nuova copertura ha area $latex \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2} \circa 1,071. Partendo da una copertura universale elementare, siamo stati in grado di renderla più piccola rimuovendo un pezzo estraneo.

Questo è esattamente il modo in cui i matematici sono arrivati all’attuale copertura universale più piccola. Usando tecniche più avanzate, possiamo trovare altre forme semplici da cui partire. Per esempio, si può dimostrare che un quadrato 1 per 1 è una copertura universale. E in risposta alla sfida di Lebesgue, Pál ha usato le proprietà delle cosiddette curve di larghezza costante per mostrare che anche se un insieme di diametro 1 può uscire da un cerchio di diametro 1, può sempre essere spostato o ruotato per entrare nell’esagono che circoscrive quel cerchio:

Di seguito mostriamo l’esagono di Pál che copre varie forme di diametro 1. La forma al centro è un triangolo di Reuleaux, una curva di larghezza costante strettamente legata agli esempi di copertura che abbiamo costruito sopra. (Possiamo costruire un triangolo di Reuleaux dai nostri esempi di copertura centrando il compasso nell’intersezione superiore dei due cerchi, aprendolo a una larghezza di 1 e facendo un arco da A a B.)

Questo esagono ha area $latex \frac{sqrt{3}}{2} \circa 0,866, che è meno dell’area delle nostre coperture di esempio e del quadrato unitario. Ma Pál ha anche dimostrato che non abbiamo bisogno dell’intero esagono. Usando il seguente ingegnoso ragionamento, ha trovato alcune parti estranee che poteva tagliare.

Inizia con due copie dell’esagono di Pál impilate l’una sull’altra

e ruota una di esse di 30 gradi intorno al loro centro.

Ci sono un sacco di cose interessanti che si creano in questo modo – come un dodecagono formato dall’intersezione dei due esagoni – ma noi siamo più interessati ai sei piccoli triangoli rossi mostrati qui sotto.

Ogni triangolo rosso è sia dentro l’esagono originale che fuori dall’esagono ruotato. Poiché ogni coppia di lati opposti di ogni esagono è distante 1 unità, i punti che giacciono in due triangoli rossi opposti devono essere distanti più di 1 unità. Come nella nostra argomentazione precedente, una copertura universale non avrebbe bisogno di entrambi i triangoli in ogni coppia opposta, poiché un insieme di diametro 1 non potrebbe essere in entrambi allo stesso tempo. Questo significa che dovremmo essere in grado di rimuoverne alcuni. Ottimisticamente potremmo sperare di rimuoverne tre: uno da ogni coppia. Ma sfortunatamente non possiamo rimuovere tre triangoli rossi dalla nostra copertura e gestire ancora tutti i possibili insiemi di diametro 1. Vediamo perché.

Un esagono può essere ruotato di 60 gradi o capovolto attraverso una delle sue linee di simmetria senza che nulla cambi, quindi ci sono davvero solo due modi diversi per scegliere un triangolo rosso da ogni coppia opposta: I tre triangoli potrebbero essere consecutivi o potrebbero alternarsi. Questo è mostrato qui sotto, con i punti che indicano quali triangoli un insieme di diametro 1 potrebbe occupare.

Se l’insieme che dobbiamo coprire occupa tre triangoli consecutivi, come a sinistra, non può essere coperto dalla forma che otterremmo togliendo tre triangoli alternati, come a destra. E se l’insieme occupa tre triangoli alternati, non può essere coperto dalla forma che otterremmo rimuovendo tre triangoli consecutivi. Rimuovendo entrambi gli insiemi di tre triangoli si lascia scoperto un potenziale insieme di diametro 1. Quindi non possiamo rimuovere tre triangoli rossi.

Ma possiamo rimuoverne due. I due insiemi problematici descritti sopra possono ancora essere coperti se rimuoviamo due triangoli rossi che non sono né adiacenti né opposti. Questo è proprio quello che ha fatto Pál.

Ha tagliato due triangoli dal suo esagono per ottenere una nuova forma che è garantita per coprire tutte le regioni di diametro 1. Questa nuova copertura universale ha un’area di 2 – $latex \frac{2}{sqrt{3}} \circa 0,8453 , leggermente inferiore a quella dell’esagono.

E la rifinitura è continuata. Pezzi più piccoli furono rimossi con successo dai matematici Roland Sprague nel 1936 e H.C. Hansen nel 1992. E solo pochi anni fa, il matematico dilettante Philip Gibbs, ispirato da un post sul blog del matematico John Baez, ha proposto alcuni nuovi pezzi da tagliare. Lavorando con Baez e un altro collaboratore, ha generalizzato le tecniche di Sprague e Hansen per tagliare ancora di più la copertura, rivendicando un nuovo record mondiale per la più piccola copertura convessa di insiemi di diametro 1, un record che Gibbs stesso ha rapidamente migliorato rimuovendo ancora più area inutile.

La buona notizia è che continuiamo a trovare pezzi dell’esagono di Pál da tagliare. La cattiva notizia è che i pezzi sono molto piccoli. Il lavoro di Sprague ha ridotto l’area della copertura di circa 0,001 unità quadrate, e quello di Hansen l’ha ridotta solo di 0,00000000004 unità quadrate. Gibbs e i suoi collaboratori hanno ridotto la copertura di Hansen di circa 0,00002 unità quadrate, che sembra un taglio enorme in confronto.

Quanto in basso possono andare? Nel 2005 Peter Brass e Mehrbod Sharifi hanno dimostrato che nessuna copertura universale può essere più piccola di 0,832 unità quadrate, quindi sappiamo che non possiamo tagliare ancora molto dal record attuale. Ma se riesci a trovare una nuova tecnica o un nuovo punto di partenza, potresti avvicinarti alla copertura universale minima e tagliare un pezzo di storia della matematica per te stesso. Ricorda solo che la parte più difficile è immaginare gli infiniti modi in cui un insieme di diametro 1 potrebbe prendere forma. E assicurarsi di aver coperto tutte le possibilità.