2.8 Autocorrelazione
Proprio come la correlazione misura l’estensione di una relazione lineare tra due variabili, l’autocorrelazione misura la relazione lineare tra valori ritardati di una serie temporale.
Ci sono diversi coefficienti di autocorrelazione, corrispondenti ad ogni pannello nel grafico del ritardo. Per esempio, \(r_{1}}) misura la relazione tra \(y_{t}) e \(y_{t-1}), \(r_{2}) misura la relazione tra \(y_{t}) e \(y_{t-2}), e così via.
Il valore di \(r_{k}}} può essere scritto come \where \(T\) è la lunghezza della serie temporale.
I primi nove coefficienti di autocorrelazione per i dati sulla produzione di birra sono riportati nella tabella seguente.
| (r_1\) | (r_2\) | (r_3\) | (r_4\) | (r_5\) | (r_6) | (r_7) | (r_8) | (r_9) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -0.102 | -0.657 | -0.060 | 0.869 | -0.089 | -0.635 | -0.054 | 0.832 | -0.108 |
Questi corrispondono ai nove scatterplot della figura 2.13. I coefficienti di autocorrelazione sono tracciati per mostrare la funzione di autocorrelazione o ACF. Il grafico è anche conosciuto come correlogramma.
ggAcf(beer2)
Figura 2.14: Funzione di autocorrelazione della produzione trimestrale di birra.
In questo grafico:
- \(r_{4}\) è più alto che per gli altri ritardi. Ciò è dovuto al modello stagionale nei dati: i picchi tendono ad essere distanti quattro trimestri e i minimi tendono ad essere distanti quattro trimestri.
- \(r_{2}\) è più negativo che per gli altri ritardi perché i minimi tendono ad essere due trimestri dopo i picchi.
- Le linee blu tratteggiate indicano se le correlazioni sono significativamente diverse da zero. Queste sono spiegate nella Sezione 2.9.
Tendenza e stagionalità nei grafici ACF
Quando i dati hanno una tendenza, le autocorrelazioni per piccoli ritardi tendono ad essere grandi e positive perché le osservazioni vicine nel tempo sono anche vicine nella dimensione. Quindi l’ACF delle serie temporali con tendenza tende ad avere valori positivi che diminuiscono lentamente all’aumentare dei ritardi.
Quando i dati sono stagionali, le autocorrelazioni saranno più grandi per i ritardi stagionali (a multipli della frequenza stagionale) che per altri ritardi.
Quando i dati sono sia con tendenza che stagionali, si vede una combinazione di questi effetti. La serie mensile della domanda di elettricità australiana tracciata nella figura 2.15 mostra sia la tendenza che la stagionalità. Il suo ACF è mostrato nella Figura 2.16.
aelec <- window(elec, start=1980)autoplot(aelec) + xlab("Year") + ylab("GWh")
Figura 2.15: Domanda mensile di elettricità in Australia dal 1980-1995.
ggAcf(aelec, lag=48)
Figura 2.16: ACF della domanda mensile di elettricità australiana.
La lenta diminuzione dell’ACF all’aumentare dei ritardi è dovuta alla tendenza, mentre la forma “smerlata” è dovuta alla stagionalità.