L’inizio della geometria greca

Gli egiziani e i babilonesi non erano realmente interessati a scoprire gli assiomi e i principi fondamentali che governano la geometria. Il loro approccio era molto pragmatico e mirava molto agli usi pratici. I Babilonesi, per esempio, presumevano che il Pi greco fosse esattamente 3, e non vedevano alcuna ragione per cambiarlo. I matematici egiziani non avevano una struttura per la loro geometria, solo un insieme di regole e soluzioni finalizzate a circostanze specifiche, come il calcolo del volume di una piramide tronca. Usavano anche la trigonometria a quel punto, nello sviluppo di un sottoinsieme della geometria, per il rilevamento e per misurare le dimensioni delle piramidi.

Queste culture non sembravano usare il ragionamento deduttivo per scoprire le tecniche geometriche dai primi principi. Invece, usavano il trial and error e, se una soluzione non era immediatamente disponibile, usavano il trial and error per arrivare a un’approssimazione. Tuttavia, queste culture posero le basi della geometria greca e influenzarono i greci, che avrebbero portato una metodologia deduttiva alla geometria, cercando di trovare regole eleganti alla base del campo.

Greco antico Geometria

Thales of Miletus (Public Domain)

La storia iniziale della geometria greca non è chiara, perché non rimangono fonti di informazione originali e tutta la nostra conoscenza proviene da fonti secondarie scritte molti anni dopo il primo periodo. Tuttavia, possiamo ancora vedere una panoramica decente e anche iniziare a guardare alcuni dei grandi nomi, i matematici greci che avrebbero plasmato il corso della geometria greca.

Il primo, e uno dei nomi più grandi, è Talete di Mileto, un matematico vissuto nel VI secolo a.C. È considerato il padre della geometria e iniziò il processo di utilizzo della deduzione dai principi primi. Si ritiene che abbia viaggiato in Egitto e Babilonia, raccogliendo le tecniche geometriche da queste culture, e sicuramente avrà avuto accesso al loro lavoro.

Tales credeva fortemente che il ragionamento dovesse superare la sperimentazione e l’intuizione, e cominciò a cercare principi solidi su cui costruire teoremi. Questo introdusse l’idea di prova nella geometria e propose alcuni assiomi che riteneva essere verità matematiche.

• Un cerchio è bisecato da uno qualsiasi dei suoi diametri
• Gli angoli base di un triangolo isoscele sono uguali
• Quando due rette si incrociano, gli angoli opposti sono uguali
• Un angolo disegnato in un semicerchiocerchio è un angolo retto
• Due triangoli con un lato uguale e due angoli uguali sono congruenti

A Talete si attribuisce l’invenzione di un metodo per trovare l’altezza di una nave in mare, una tecnica che usò per misurare l’altezza di una piramide, per la gioia degli egiziani. Per questo, dovette capire le proporzioni ed eventualmente le regole che governano i triangoli simili, uno dei punti fermi della trigonometria e della geometria.

Non è chiaro esattamente come Talete decise che gli assiomi di cui sopra fossero prove inconfutabili, ma furono incorporati nel corpo della matematica greca e l’influenza di Talete avrebbe influenzato innumerevoli generazioni di matematici.

Pitagora

Pitagora (Pubblico Dominio)

Probabilmente il nome più famoso nello sviluppo della geometria greca è Pitagora, anche se solo per la famosa legge sui triangoli rettangoli. Questo matematico viveva in una società segreta che assumeva una missione semi-religiosa. Da questo, i pitagorici svilupparono una serie di idee e iniziarono a sviluppare la trigonometria. I pitagorici aggiunsero alcuni nuovi assiomi al bagaglio di conoscenze geometriche.

• La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti *(180o).
• La somma degli angoli esterni di un triangolo è uguale a quattro angoli retti (360o).
• La somma degli angoli interni di un qualsiasi poligono è uguale a 2n-4 angoli retti, dove n è il numero dei lati.
• La somma degli angoli esterni di un poligono è uguale a quattro angoli retti, indipendentemente dal numero dei lati.
• I tre poligoni, il triangolo, l’esagono e il quadrato riempiono completamente lo spazio intorno ad un punto su un piano – sei triangoli, quattro quadrati e tre esagoni. In altre parole, è possibile rivestire un’area con queste tre forme, senza lasciare spazi vuoti o avere sovrapposizioni.
• Per un triangolo rettangolo, il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati.

La maggior parte di queste regole sono immediatamente familiari alla maggior parte degli studenti, come principi fondamentali della geometria e della trigonometria. Uno dei suoi allievi, Ippocrate, portò avanti lo sviluppo della geometria. Fu il primo ad iniziare ad usare tecniche geometriche in altre aree della matematica, come la risoluzione di equazioni quadratiche, e cominciò anche a studiare il processo di integrazione. Studiò il problema della quadratura del cerchio (che ora sappiamo essere impossibile, semplicemente perché il Pi greco è un numero irrazionale). Risolse il problema della quadratura di una Lune e dimostrò che il rapporto tra le aree di due cerchi era uguale al rapporto tra i quadrati dei raggi dei cerchi.

Euclide

Euclide voleva che tutte le affermazioni matematiche fossero dimostrate (Elementi di Euclide)

A fianco di Pitagora, Euclide è un nome molto famoso nella storia della geometria greca. Ha raccolto il lavoro di tutti i matematici precedenti e ha creato la sua opera di riferimento, ‘Gli Elementi’, sicuramente uno dei libri più pubblicati di tutti i tempi. In quest’opera, Euclide stabilì l’approccio per la geometria e la matematica pura in generale, proponendo che tutte le affermazioni matematiche dovessero essere dimostrate attraverso il ragionamento e che non fossero necessarie misure empiriche. Questa idea di prova domina ancora la matematica pura nel mondo moderno.

Archimede

Archimede fu un grande matematico e fu un maestro nel visualizzare e manipolare lo spazio. Perfezionò i metodi di integrazione e ideò formule per calcolare le aree di molte forme e i volumi di molti solidi. Usò spesso il metodo dell’esaurimento per scoprire le formule. Per esempio, trovò un modo per calcolare matematicamente l’area sotto una curva parabolica; calcolò un valore per Pi greco più accuratamente di qualsiasi matematico precedente; e dimostrò che l’area di un cerchio è uguale a Pi moltiplicato per il quadrato del suo raggio. Ha anche dimostrato che il volume di una sfera è due terzi del volume di un cilindro con la stessa altezza e raggio. Quest’ultima scoperta fu incisa sulla sua lapide.

Apollonio di Perga (262 – 190 a.C.)

Appolonio di Pergia (Pubblico Dominio)

Apollonio fu un matematico e astronomo, e scrisse un trattato chiamato ‘Sezioni Coniche’.’ Ad Apollonio si attribuisce l’invenzione delle parole ellisse, parabola e iperbole, ed è spesso indicato come il Grande Geometra. Scrisse anche molto sulle idee delle tangenti alle curve, e il suo lavoro sulle coniche e le parabole avrebbe influenzato i successivi studiosi islamici e il loro lavoro sull’ottica.

La geometria greca e la sua influenza

La geometria greca passò infine nelle mani dei grandi studiosi islamici, che la tradussero e la completarono. In questo studio della geometria greca, ci sono stati molti altri matematici e geometri greci che hanno contribuito alla storia della geometria, ma questi nomi sono i veri giganti, quelli che hanno sviluppato la geometria come la conosciamo oggi.