Biografia

Il nome completo di Omar Khayyam era Ghiyath al-Din Abu’l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami. Una traduzione letterale del nome al-Khayyami (o al-Khayyam) significa ‘fabbricante di tende’ e questo potrebbe essere stato il mestiere di Ibrahim suo padre. Khayyam giocò sul significato del suo stesso nome quando scrisse:-

Khayyam, che ha cucito le tende della scienza,
è caduto nella fornace del dolore ed è stato improvvisamente bruciato,
le cesoie del Fato hanno tagliato le corde della sua vita,
e il mediatore della Speranza lo ha venduto per niente!

Gli eventi politici dell’XI secolo giocarono un ruolo importante nel corso della vita di Khayyam. I Turchi Selgiuchidi erano tribù che invasero l’Asia sud-occidentale nell’XI secolo e alla fine fondarono un impero che comprendeva la Mesopotamia, la Siria, la Palestina e gran parte dell’Iran. I Selgiuchidi occuparono i pascoli del Khorasan e poi, tra il 1038 e il 1040, conquistarono tutto l’Iran nord-orientale. Il sovrano selgiuchide Toghrïl Beg si proclamò sultano a Nishapur nel 1038 ed entrò a Baghdad nel 1055. Fu in questo difficile e instabile impero militare, che aveva anche problemi religiosi nel tentativo di stabilire uno stato musulmano ortodosso, che Khayyam crebbe.
Khayyam studiò filosofia a Naishapur e uno dei suoi compagni di studi scrisse che era:-

…. dotato di acutezza d’ingegno e dei più alti poteri naturali …

Tuttavia, questo non era un impero in cui i dotti, anche quelli colti come Khayyam, trovavano vita facile a meno che non avessero il sostegno di un sovrano in una delle tante corti. Anche tale patronato non avrebbe fornito troppa stabilità, poiché la politica locale e le fortune del regime militare locale decidevano chi in qualsiasi momento detenesse il potere. Khayyam stesso ha descritto le difficoltà per gli uomini di cultura durante questo periodo nell’introduzione al suo Trattato sulla dimostrazione dei problemi di algebra (vedi per esempio):-

Non ho potuto dedicarmi all’apprendimento di questa algebra e alla continua concentrazione su di essa, a causa degli ostacoli dei capricci del tempo che mi hanno ostacolato; poiché siamo stati privati di tutte le persone di conoscenza tranne un gruppo, piccolo di numero, con molti problemi, la cui preoccupazione nella vita è quella di strappare l’opportunità, quando il tempo dorme, di dedicarsi nel frattempo all’indagine e alla perfezione di una scienza; perché la maggior parte delle persone che imitano i filosofi confondono il vero con il falso, e non fanno altro che ingannare e fingere conoscenza, e non usano ciò che sanno delle scienze se non per scopi bassi e materiali; e se vedono una certa persona che cerca il giusto e preferisce la verità, facendo del suo meglio per confutare il falso e il non vero e lasciando da parte l’ipocrisia e l’inganno, si prendono gioco di lui e lo deridono.

Tuttavia Khayyam fu un matematico e un astronomo eccezionale e, nonostante le difficoltà che descrive in questa citazione, scrisse diverse opere tra cui Problemi di aritmetica, un libro sulla musica e uno sull’algebra prima dei 25 anni. Nel 1070 si trasferì a Samarcanda in Uzbekistan, una delle più antiche città dell’Asia centrale. Lì Khayyam fu sostenuto da Abu Tahir, un importante giurista di Samarcanda, e questo gli permise di scrivere la sua opera più famosa sull’algebra, il Trattato sulla dimostrazione dei problemi dell’algebra da cui abbiamo tratto la citazione sopra. Descriveremo il contenuto matematico di quest’opera più avanti in questa biografia.
Toghril Beg, il fondatore della dinastia Seljuq, aveva fatto di Esfahan la capitale dei suoi domini e suo nipote Malik-Shah era il sovrano di quella città dal 1073. Un invito fu inviato a Khayyam da Malik-Shah e dal suo visir Nizam al-Mulk chiedendo a Khayyam di andare a Esfahan per installarvi un osservatorio. Altri astronomi di spicco furono portati all’Osservatorio di Esfahan e per 18 anni Khayyam guidò gli scienziati e produsse un lavoro di qualità eccezionale. Fu un periodo di pace durante il quale la situazione politica permise a Khayyam di dedicarsi interamente al suo lavoro di studioso.
Durante questo periodo Khayyam guidò il lavoro di compilazione delle tavole astronomiche e contribuì anche alla riforma del calendario nel 1079. Cowell cita The Calcutta Review No 59:-

Quando il Malik Shah decise di riformare il calendario, Omar fu uno degli otto uomini dotti impiegati per farlo, il risultato fu l’era Jalali (così chiamata da Jalal-ud-din, uno dei nomi del re) – ‘un calcolo del tempo’, dice Gibbon, ‘che supera il Giuliano, e si avvicina alla precisione dello stile Gregoriano.’

Khayyam ha misurato la lunghezza dell’anno in 365,24219858156 giorni. Due commenti su questo risultato. In primo luogo, mostra un’incredibile sicurezza per tentare di dare il risultato con questo grado di precisione. Ora sappiamo che la lunghezza dell’anno cambia alla sesta cifra decimale durante la vita di una persona. In secondo luogo è straordinariamente preciso. Per confronto, la lunghezza dell’anno alla fine del XIX secolo era di 365,242196 giorni, mentre oggi è di 365,242190 giorni.
Nel 1092 gli eventi politici misero fine al periodo di esistenza pacifica di Khayyam. Malik-Shah morì nel novembre di quell’anno, un mese dopo che il suo visir Nizam al-Mulk era stato assassinato sulla strada da Esfahan a Baghdad dal movimento terroristico chiamato gli Assassini. La seconda moglie di Malik-Shah prese il posto di governante per due anni, ma aveva litigato con Nizam al-Mulk, così ora coloro che lui aveva sostenuto trovarono quel sostegno ritirato. I finanziamenti per gestire l’Osservatorio cessarono e la riforma del calendario di Khayyam fu messa in attesa. Khayyam venne anche attaccato dai musulmani ortodossi che ritenevano che la mente interrogativa di Khayyam non fosse conforme alla fede. Scrisse nel suo poema il Rubaiyat :-

Infatti, gli idoli che ho amato così a lungo
hanno fatto molto male al mio credito agli occhi degli uomini:
hanno affogato il mio onore in una tazza poco profonda,
e venduto la mia reputazione per una canzone.

Nonostante l’avversione di tutti, Khayyam rimase a corte e cercò di riconquistare il favore. Scrisse un’opera in cui descriveva i precedenti governanti in Iran come uomini di grande onore che avevano sostenuto le opere pubbliche, la scienza e l’erudizione.
Il terzo figlio di Malik-Shah, Sanjar, che era governatore del Khorasan, divenne il sovrano generale dell’impero Seljuq nel 1118. Qualche tempo dopo Khayyam lasciò Esfahan e si recò a Merv (oggi Mary, Turkmenistan) che Sanjar aveva fatto diventare la capitale dell’impero selgiuchide. Sanjar creò un grande centro di apprendimento islamico a Merv, dove Khayyam scrisse altri lavori sulla matematica.
Il documento di Khayyam è un primo lavoro sull’algebra scritto prima del suo famoso testo di algebra. In esso egli considera il problema:-

Trova un punto su un quadrante di un cerchio in modo tale che quando una normale viene fatta cadere dal punto a uno dei raggi che lo delimitano, il rapporto tra la lunghezza della normale e quella del raggio è uguale al rapporto dei segmenti determinati dal piede della normale.

Khayyam mostra che questo problema è equivalente alla soluzione di un secondo problema:-

Trova un triangolo rettangolo che abbia la proprietà che l’ipotenusa sia uguale alla somma di una gamba più l’altezza sull’ipotenusa.

Questo problema a sua volta portò Khayyam a risolvere l’equazione cubica x3+200x=20×2+2000x^{3} + 200x = 20x^{2} + 2000×3+200x=20×2+2000 e trovò una radice positiva di questa cubica considerando l’intersezione di un’iperbole rettangolare e un cerchio. Una soluzione numerica approssimativa fu poi trovata per interpolazione nelle tavole trigonometriche. Forse ancora più notevole è il fatto che Khayyam afferma che la soluzione di questa cubica richiede l’uso di sezioni coniche e che non può essere risolta con metodi di riga e compasso, un risultato che non sarebbe stato dimostrato per altri 750 anni. Khayyam scrisse anche che sperava di dare una descrizione completa della soluzione delle equazioni cubiche in un’opera successiva :-

Se si presenterà l’occasione e potrò riuscirci, darò tutte queste quattordici forme con tutti i loro rami e casi, e come distinguere ciò che è possibile o impossibile in modo da preparare una carta, contenente elementi che sono molto utili in questa arte.

In effetti Khayyam produsse una tale opera, il Trattato sulla dimostrazione dei problemi di algebra che conteneva una classificazione completa delle equazioni cubiche con soluzioni geometriche trovate per mezzo di sezioni coniche intersecanti. Infatti Khayyam dà un interessante resoconto storico in cui sostiene che i greci non avevano lasciato nulla sulla teoria delle equazioni cubiche. Infatti, come scrive Khayyam, i contributi di scrittori precedenti come al-Mahani e al-Khazin furono di tradurre problemi geometrici in equazioni algebriche (qualcosa che era essenzialmente impossibile prima del lavoro di al-Khwarizmi). Tuttavia, Khayyam stesso sembra essere stato il primo a concepire una teoria generale delle equazioni cubiche. Khayyam scrisse (vedi per esempio o ):-

Nella scienza dell’algebra si incontrano problemi dipendenti da certi tipi di teoremi preliminari estremamente difficili, la cui soluzione non ebbe successo per la maggior parte di coloro che la tentarono. Per quanto riguarda gli antichi, nessuna loro opera che tratti l’argomento è giunta fino a noi; forse dopo aver cercato le soluzioni e averle esaminate, non sono stati in grado di comprendere le loro difficoltà; o forse le loro indagini non richiedevano un tale esame; o infine, le loro opere su questo argomento, se sono esistite, non sono state tradotte nella nostra lingua.

Un’altra conquista nel testo di algebra è la realizzazione di Khayyam che un’equazione cubica può avere più di una soluzione. Ha dimostrato l’esistenza di equazioni con due soluzioni, ma purtroppo non sembra aver scoperto che una cubica può avere tre soluzioni. Sperava che “le soluzioni aritmetiche” potessero essere trovate un giorno quando scrisse (vedi per esempio ):-

Forse qualcun altro che verrà dopo di noi potrà scoprirlo nel caso, quando non ci sono solo le prime tre classi di potenze conosciute, cioè il numero, la cosa e il quadrato.

I “qualcun altro che viene dopo di noi” erano infatti del Ferro, Tartaglia e Ferrari nel XVI secolo. Sempre nel suo libro sull’algebra, Khayyam fa riferimento ad un’altra sua opera ormai perduta. Nell’opera perduta Khayyam discute il triangolo di Pascal, ma non fu il primo a farlo poiché al-Karaji discusse il triangolo di Pascal prima di questa data. In effetti possiamo essere abbastanza sicuri che Khayyam usava un metodo per trovare le radici ennesime basato sull’espansione binomiale, e quindi sui coefficienti binomiali. Ciò risulta dal seguente passaggio del suo libro di algebra (vedere per esempio , o ):-

Gli indiani possiedono metodi per trovare i lati dei quadrati e dei cubi basati su tale conoscenza dei quadrati di nove figure, cioè il quadrato di 1, 2, 3, ecc. e anche i prodotti formati moltiplicandoli tra loro, cioè i prodotti di 2, 3 ecc. Ho composto un lavoro per dimostrare l’esattezza di questi metodi, e ho dimostrato che portano allo scopo desiderato. Ho inoltre aumentato la specie, cioè ho mostrato come trovare i lati del quadrato-quadrato, quatro-cubo, cubo-cubo, ecc. a qualsiasi lunghezza, cosa che non è stata fatta prima d’ora. le prove che ho dato in questa occasione sono solo prove aritmetiche basate sulle parti aritmetiche degli “Elementi” di Euclide.

Nei Commentari ai difficili postulati del libro di Euclide Khayyam ha dato un contributo alla geometria non-euclidea, sebbene questa non fosse la sua intenzione. Nel tentativo di dimostrare il postulato delle parallele, dimostrò accidentalmente le proprietà delle figure nelle geometrie non euclidee. Khayyam diede anche importanti risultati sui rapporti in questo libro, estendendo il lavoro di Euclide per includere la moltiplicazione dei rapporti. L’importanza del contributo di Khayyam è che ha esaminato sia la definizione di Euclide di uguaglianza dei rapporti (che era quella proposta per prima da Eudosso) sia la definizione di uguaglianza dei rapporti proposta da matematici islamici precedenti come al-Mahani, che era basata sulle frazioni continue. Khayyam dimostrò che le due definizioni sono equivalenti. Ha anche posto la questione se un rapporto può essere considerato un numero, ma lascia la domanda senza risposta.
Al di fuori del mondo della matematica, Khayyam è meglio conosciuto come risultato della traduzione popolare di Edward Fitzgerald nel 1859 di quasi 600 brevi poemi di quattro righe, il Rubaiyat. La fama di Khayyam come poeta ha fatto sì che alcuni dimenticassero le sue conquiste scientifiche che erano molto più sostanziali. Versioni delle forme e dei versi usati nel Rubaiyat esistevano nella letteratura persiana prima di Khayyam, e solo circa 120 dei versi possono essere attribuiti a lui con certezza. Di tutti i versi, il più noto è il seguente:-

Il dito in movimento scrive e, dopo aver scritto,
muove: né tutta la tua pietà né il tuo ingegno
lo faranno tornare indietro per cancellare mezza riga,
né tutte le tue lacrime ne cancelleranno una parola.