Nella meccanica newtoniana, per il moto armonico semplice unidimensionale, l’equazione del moto, che è un’equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, può essere ottenuta per mezzo della seconda legge di Newton e della legge di Hooke per una massa su una molla.

F n e t = m d 2 x d t 2 = – k x , {\displaystyle F_{\mathrm {net} = m{frac {\mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}

dove m è la massa inerziale del corpo oscillante, x è il suo spostamento dalla posizione di equilibrio (o media), e k è una costante (la costante elastica per una massa su una molla).

Quindi,

d 2 x d t 2 = – k m x , {displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-{frac {k}{m}}x,}

Solvendo l’equazione differenziale sopra si ottiene una soluzione che è una funzione sinusoidale:

x ( t ) = c 1 cos ( ω t ) + c 2 sin ( ω t ) , {\displaystyle x(t)=c_{1}cos \left(\omega t\right)+c_{2}sin \left(\omega t\right),\qquad }

dove ω = k m . {displaystyle \qquadro \omega ={sqrt {frac {k}{m}}.}

Il significato delle costanti c 1 {displaystyle c_{1}}

e c 2 {displaystyle c_{2}

possono essere facilmente trovati: impostando t = 0 {\displaystyle t=0}

sull’equazione precedente vediamo che x ( 0 ) = c 1 {displaystyle x(0)=c_{1}}

, così che c 1 {displaystyle c_{1}

è la posizione iniziale della particella, c 1 = x 0 {displaystyle c_{1}=x_{0}

; prendendo la derivata di questa equazione e valutando a zero si ottiene che x ˙ ( 0 ) = ω c 2 {\displaystyle {\punto {x}(0)=\omega c_{2}

, così che c 2 {displaystyle c_{2}}

è la velocità iniziale della particella divisa per la frequenza angolare, c 2 = v 0 ω {displaystyle c_{2}={frac {v_{0}}{\omega }}

. Così possiamo scrivere: x ( t ) = x 0 cos ( k m t ) + v 0 k m sin ( k m t ) . {\displaystyle x(t)=x_{0}cos \sinistra({\sqrt {\frac {k}{m}}destra)+{frac {v_{0}{sqrt {frac {k}{m}}}}}sin \sinistra({\sqrt {\frac {k}{m}}destra).}

Questa equazione può anche essere scritta nella forma:

x ( t ) = A cos ( ω t – φ ) , {displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}

dove

A = c 1 2 + c 2 2 , tan φ = c 2 c 1 , {displaystyle A={sqrt {c_{1}}^{2}+{c_{2}^{2}}},\qquad \tan \varphi ={frac {c_{2}}{c_{1}}},

Nella soluzione, c1 e c2 sono due costanti determinate dalle condizioni iniziali (in particolare, la posizione iniziale al tempo t = 0 è c1, mentre la velocità iniziale è c2ω), e l’origine è posta come posizione di equilibrio. Ognuna di queste costanti porta un significato fisico del moto: A è l’ampiezza (spostamento massimo dalla posizione di equilibrio), ω = 2πf è la frequenza angolare, e φ è la fase iniziale.

Utilizzando le tecniche di calcolo, la velocità e l’accelerazione in funzione del tempo possono essere trovate:

v ( t ) = d x d t = – A ω sin ( ω t – φ ) , {\displaystyle v(t)={\frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),}

Velocità:

ω A 2 – x 2 {displaystyle {\omega }{sqrt {A^{2}-x^{2}}}}

Velocità massima: v=ωA (al punto di equilibrio)

a ( t ) = d 2 x d t 2 = – A ω 2 cos ( ω t – φ ) . a(t)={frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}=-A\omega ^{2}cos(\omega t-\varphi ).}

Accelerazione massima: Aω2 (nei punti estremi)

Per definizione, se una massa m è sotto SHM la sua accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento.

a ( x ) = – ω 2 x . {\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}