Introduzione

Il termine simbologia è usato per descrivere un sistema in cui diversi simboli o segni sono usati per rappresentare informazioni, siano esse lettere, numeri, parole o istruzioni. L’umanità ha sempre usato diverse simbologie. Ci sono molti esempi: Numeri romani, geroglifici egiziani, Braille, codice Morse, e nel mondo moderno – codici a barre e diversi codici informatici. C’è molta somiglianza tra la simbologia e la crittografia (scrittura segreta), ma c’è anche una differenza principale. Nella crittografia, l’obiettivo è quello di nascondere informazioni a persone non autorizzate. Nella simbologia, l’obiettivo è quello di rappresentare l’informazione in un modo efficiente e conveniente.

I numeri nel mondo antico

Le persone hanno sempre avuto bisogno di contare le cose. Prima che i numeri fossero scritti come lo sono oggi, si usavano altri metodi. Il metodo più semplice era quello di usare delle aste o disegnare delle linee per rappresentare diverse quantità. Per esempio, se un mercante al mercato si trovava di fronte a due gruppi di botti di vino, un gruppo con tre botti e l’altro gruppo con sei, doveva calcolare la somma totale e sarebbe stata scritta usando immagini di aste.

Con il tempo, culture diverse hanno sviluppato simboli diversi per rappresentare i numeri. Già 5000 anni fa, gli antichi Egizi scolpirono nella pietra la loro simbologia pittorica, i geroglifici, per comunicare idee e per scrivere parole e numeri. Ogni disegno o simbolo aveva diverse interpretazioni a seconda del contesto. Un significato potrebbe essere semplicemente l’oggetto raffigurato nel disegno. Il disegno assume un significato completamente diverso se combinato con un altro. In questo caso, la combinazione dei due simboli esprimerebbe il significato. Dimostriamo questo principio in inglese. Un disegno di una stella potrebbe significare: stella, ma la forma di una stella insieme a una roccia, potrebbe significare ‘rock star’, come in ‘Lady Gaga’. I geroglifici erano per lo più scolpiti nella pietra.

C’erano immagini per i numeri. Un’asta per il numero uno, una cinghia di bue per il numero dieci, una bobina di corda per cento, una pianta di loto per mille e così via. Ecco una tabella di numeri geroglifici:

Anche se la notazione posizionale era già in uso migliaia di anni fa dai Babilonesi (tranne l’uso dello zero), non era usata dagli Egizi. Così, il numero geroglifico 2 era il disegno di due aste, e il numero geroglifico 5072 era rappresentato incidendo 5 piante di loto, sette cinghie di bue e due aste. In linea di principio, non c’è bisogno di scrivere i simboli in un ordine specifico, poiché la posizione non aveva alcun significato, ma i numeri geroglifici erano solitamente scritti con i simboli dei numeri più grandi a sinistra, o sopra quelli più piccoli. Ecco il simbolo egiziano per il numero: 4622, uno dei numeri scolpiti sulle pareti del tempio di Karnak (Thibes), in Egitto.

Gli egiziani usavano anche una simbologia di scrittura più popolare, la scrittura ieratica, che era una sorta di stenografia dei geroglifici. Il famoso papiro Rhind, raffigurato nell’immagine qui sopra e conservato al British Museum di Londra, da cui sappiamo molto sulla matematica egizia, era scritto in scrittura ieratica. Prende il nome dall’archeologo scozzese Alexander Henry Rhind, che lo trovò, e fu scritto con inchiostro su papiro (come quasi tutte le scritture ieratiche) da uno scriba egiziano chiamato Ahmes. Il papiro Rhind ci dice molto su come gli egiziani eseguivano molti dei loro calcoli matematici. Include problemi di calcolo quotidiani di molti tipi: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Rivela anche una consapevolezza di base di alcune matematiche complicate, come i numeri compositi e primi, diversi tipi di mezzi e i numeri perfetti. Una delle caratteristiche più intriganti della matematica dell’antico Egitto è il modo in cui trattavano le frazioni.

Frazioni egizie

Un interessante geroglifico usato dagli Egizi nel contesto dei numeri è l’immagine di un occhio. Un “occhio” sopra un numero indica quale parte è del numero intero. Un occhio sopra il numero 3, per esempio, indica che è la terza parte del numero intero, cioè la frazione un terzo (1/3). Quindi, questo geroglifico trasforma il numero nel suo inverso. Si potrebbe pensare che l'”occhio” rappresenti semplicemente le frazioni, ma c’è una differenza significativa tra le frazioni egiziane e le frazioni che usiamo oggi. Mentre oggi scriviamo frazioni come 2/5 o 3/5, dove il numeratore può essere qualsiasi numero, nelle frazioni egizie il numeratore è sempre 1: ½, ¼, ecc. Queste frazioni sono conosciute come “frazioni unitarie”. Ma se gli egiziani usavano solo frazioni unitarie, come facevano a scrivere frazioni come 3/4 o 7/12? Queste frazioni erano scritte come “somme” di frazioni, ognuna diversa dall’altra. Per esempio, la frazione 3/4 può essere scritta come 1/2+1/4. Se oggi ci chiedessero quanto fa 1/3 + 1/4, noi scriveremmo: 7/12, ma gli egiziani lo lascerebbero semplicemente come 1/3+1/4. Si nota di sfuggita che gli Egizi avevano un’eccezione alla regola – la frazione 2/3.

Perché gli Egizi usavano solo “frazioni unitarie”? Ci sono state alcune speculazioni, ma eccone una che mi sembra una buona ipotesi. Guardate per esempio il seguente problema: In una pizzeria, il venditore deve dividere equamente 5 vassoi di pizza tra 8 persone, come può farlo?

• Nel linguaggio matematico di oggi potremmo dire che ognuno di loro deve ricevere 5/8 delle pizze. Il venditore dovrebbe dividere ogni vassoio in otto porzioni in modo che tutti ricevano un pezzo da ogni vassoio. Questo creerebbe un sacco di lavoro per il venditore. In alternativa, potrebbe dare ad una persona 5/8 di una pizza, la seconda i rimanenti 3/8 e un altro 2/8 dalla seconda pizza, la terza persona otterrebbe 5/8 ecc.
• Un’altra opzione è scrivere 5/8 come frazione egiziana: 1/2+1/8 = 5/8. In questo caso, il venditore potrebbe prendere 4 pizze e tagliare ognuna di esse a metà in modo che tutti ricevano mezza pizza, mentre solo l’ultima pizza dovrebbe tagliare in otto fette in modo che tutti ricevano un ottavo in più.

Non solo il metodo egiziano risulta in un piccolo numero di fette per ogni persona, ma è anche percepito da loro come più giusto. Ognuno riceverà due pezzi di pizza, uno della dimensione di una metà e l’altro della dimensione di un ottavo, invece che alcuni riceveranno un pezzo (5/8) e altri due (3/8 + 2/8).

I matematici sono ancora oggi intrigati dalle frazioni egiziane, e c’è ancora molto da scoprire.

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