Teoria degli insiemi, branca della matematica che si occupa delle proprietà di collezioni ben definite di oggetti, che possono essere o meno di natura matematica, come numeri o funzioni. La teoria ha meno valore nell’applicazione diretta all’esperienza ordinaria che come base per una terminologia precisa e adattabile per la definizione di concetti matematici complessi e sofisticati.

Tra gli anni 1874 e 1897, il matematico e logico tedesco Georg Cantor creò una teoria degli insiemi astratti di entità e la fece diventare una disciplina matematica. Questa teoria nacque dalle sue indagini su alcuni problemi concreti riguardanti certi tipi di insiemi infiniti di numeri reali. Un insieme, scriveva Cantor, è una collezione di oggetti definiti e distinguibili della percezione o del pensiero concepiti come un tutto. Gli oggetti sono chiamati elementi o membri dell’insieme.

La teoria aveva l’aspetto rivoluzionario di trattare gli insiemi infiniti come oggetti matematici che sono sullo stesso piano di quelli che possono essere costruiti in un numero finito di passi. Fin dall’antichità, la maggioranza dei matematici aveva accuratamente evitato di introdurre nelle loro argomentazioni l’infinito vero e proprio (cioè, di insiemi contenenti un’infinità di oggetti concepiti come esistenti contemporaneamente, almeno nel pensiero). Dato che questo atteggiamento persistette fino quasi alla fine del XIX secolo, l’opera di Cantor fu oggetto di molte critiche secondo le quali si occupava di finzioni, anzi, invadeva il dominio dei filosofi e violava i principi della religione. Una volta che le applicazioni all’analisi cominciarono ad essere trovate, tuttavia, gli atteggiamenti cominciarono a cambiare, e dagli anni 1890 le idee e i risultati di Cantor stavano guadagnando accettazione. Entro il 1900, la teoria degli insiemi fu riconosciuta come un ramo distinto della matematica.

Proprio in quel periodo, tuttavia, furono scoperte diverse contraddizioni nella cosiddetta teoria ingenua degli insiemi. Per eliminare tali problemi, fu sviluppata una base assiomatica per la teoria degli insiemi analoga a quella sviluppata per la geometria elementare. Il grado di successo che è stato raggiunto in questo sviluppo, così come l’attuale statura della teoria degli insiemi, è stato ben espresso in Nicolas Bourbaki Éléments de mathématique (iniziato nel 1939; “Elementi di matematica”): “Oggi si sa che è possibile, logicamente parlando, derivare praticamente tutta la matematica conosciuta da un’unica fonte, la teoria degli insiemi.”