Euclid、『アテネの学校』で幾何学を説明する。 by Raffaello Sanzio (Public Domain)

確かに、境界を測ったり、建物を建てたりするためには、人間には距離や角度、高さを判断する仕組みや本能が備わっていなければなりません。 文明が発達するにつれ、これらの本能は、経験、実験、直感から得られた観察と手順によって補強されていきました。 バビロニア人は確かに優れた幾何学者でしたし、エジプト人は測量を中心に豊かで複雑な数学を発展させました。 この2つの文化は、ギリシャ人にその情報を伝えました。

ギリシャ幾何学の始まり

エジプト人やバビロニア人は、幾何学を支配する公理や根本原理の解明にはあまり興味がありませんでした。 彼らのアプローチは非常に実用的なもので、実際に使用することを重視していました。 例えば、バビロニア人は円周率がちょうど3であると仮定し、これを変更する理由はないと考えていました。 エジプトの数学者の幾何学には構造がなく、切り落とされたピラミッドの体積を計算するなど、特定の状況に合わせた規則や解法が集められていました。

これらの文化は、第一原理から幾何学的手法を発見するための演繹的な推論を使用していなかったようです。 その代わりに、試行錯誤を繰り返し、解決策がすぐに見つからない場合は、試行錯誤で近似値を導き出していました。 しかし、これらの文化はギリシャの幾何学の基礎を築き、ギリシャ人に影響を与えました。彼らは幾何学に演繹的な方法論を持ち込み、その分野を支えるエレガントなルールを見つけようとしました。

Early Greek 幾何学

Thales of Miletus (Public Domain)

ギリシア幾何学の初期の歴史ははっきりしません。 なぜなら、オリジナルの情報源は残っておらず、私たちの知識はすべて、初期の時代から何年も後に書かれた二次資料から得られたものだからです。

まず、最も偉大な人物の一人であるミレトスのタレスは、紀元前6世紀に生きた数学者です。 彼は幾何学の父と呼ばれ、第一原理からの推論を始めました。

タレスは、実験や直感よりも推論が優先されるべきだと強く信じており、定理を構築するための確固たる原理を探し始めました。 これにより、幾何学に証明という考え方が導入され、数学的真理と思われる公理をいくつか提案しました。

• 円はその直径のいずれかで2等分される
• 二等辺三角形の底角は等しい
• 2本の直線が交差するとき、対向する角は等しい。 角度が等しい
• li
• 1つの等しい辺と2つの等しい角を持つ2つの三角形は合同である

タレスは海上の船の高さを求める方法を考案したとされています。 この方法を使ってピラミッドの高さを測り、エジプト人を喜ばせたのです。

上記の公理が反論の余地のない証明であるとタレスがどのように判断したかは正確には不明ですが、ギリシャ数学の体系に組み込まれ、タレスの影響は数え切れないほどの世代の数学者に影響を与えました。

Pythagoras

Pythagoras (Public Domain)

ギリシャ幾何学の発展において、最も有名な名前はピタゴラスでしょう。

ピタゴラスは、直角三角形に関する有名な法則で知られています。 この数学者は、半宗教的な使命を帯びた秘密結社に属していました。 ピュタゴラスは、ここからさまざまなアイデアを生み出し、三角法を発展させていきました。

• 三角形の内角の和は、2つの直角*(180o)に等しい
• 三角形の外角の和は、4つの直角(360o)に等しい。
• 任意の多角形の内角の和は2n-4個の直角に等しく、ここでnは辺の数です。
• 多角形の外角の和は4個の直角に等しく、辺の数はいくつでも構いません。
• 三角、六角、四角の3つの多角形は、三角形が6つ、四角が4つ、六角が3つと、平面上の点の周りの空間を完全に埋め尽くします。
• 直角三角形の場合、斜辺の二乗は、他の2辺の二乗の合計に等しい。

これらの法則のほとんどは、幾何学や三角法の基本原理として、ほとんどの学生がすぐに理解できるものです。 彼の弟子の一人であるヒポクラテスは、幾何学の発展をさらに進めました。 ヒポクラテスは、二次方程式の解法など、数学の他の分野で幾何学的手法を使い始めた最初の人物であり、さらには積分のプロセスについても研究を始めました。 彼は、「円の二乗」の問題を研究した（円周率が無理数であることから、現在では不可能であることがわかっている）。 また、「リュンヌの二乗」の問題を解き、2つの円の面積の比が、円の半径の2乗の比に等しいことを示しました。

ユークリッド

ユークリッドは、すべての数学的な記述は証明されるべきだと考えていました（Euclid’s Elements）

ユークリッドは、ピタゴラスと並んで、ギリシャ幾何学の歴史の中で非常に有名な人物です。 ユークリッドは、それまでの数学者たちの仕事を集めて、画期的な作品『元素』を作りました。これは、史上最も出版された本の一つであることは間違いありません。 ユークリッドはこの著作の中で、幾何学や純粋数学全般のアプローチを示し、すべての数学的記述は推論によって証明されるべきであり、経験的な測定は必要ないと提案した。

アルキメデス

アルキメデスは偉大な数学者で、空間を視覚化して操作することに長けていました。 彼は積分の方法を完成させ、多くの図形の面積や多くの固体の体積を計算する公式を考案しました。 彼は公式を解き明かすために、しばしば「消耗法」を用いた。 例えば、放物線の下の面積を数学的に計算する方法を発見したり、円周率の値を過去のどの数学者よりも正確に計算したり、円の面積は円周率に半径の二乗をかけたものに等しいことを証明したりしたのである。 円の面積は円周率に半径の2乗をかけたものであること、また、球の体積は高さと半径が同じ円筒の体積の3分の2であることを示した。 この最後の発見は、彼の墓石に刻まれました。

ペルガのアポロニウス（紀元前262～190年）

Appolonius of Pergia (Public Domain)

アポロニウスは、数学者であり天文学者でもありました。 アポロニウスは数学者であり、天文学者でもあり、『円錐角』という論文を書いています。’ アポロニウスは楕円、放物線、双曲線という言葉を発明したことで知られており、しばしば「偉大な幾何学者」と呼ばれています。 また、アポロニウスは曲線の接線についても多くのことを書いており、円錐や放物線に関する彼の研究は、後のイスラムの学者たちの光学に関する研究にも影響を与えました。