ニュートン力学では、1次元の単純調和運動に対して、バネ上の質量に対するニュートンの第2法則とフックの法則を用いて、一定の係数を持つ2階の線形常微分方程式である運動方程式を求めることができます。 }=m{frac {\mathrm {d}}。 ^{2}x}{\\{d} t^{2}}=-kx,}
ここで、mは振動体の慣性質量、xは平衡位置（または平均位置）からの変位、kは定数（バネ上の質量のバネ定数）です。
従って、
d 2 x d t 2 = – k m x , {\frac {d}. ^{2}x}{\\{d} t^{2}}=-{{frac {k}{m}}x,}
上の微分方程式を解くと、正弦関数の解が得られます。
x ( t ) = c 1 cos ( ω t ) + c 2 sin ( ω t ) , {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos eldest(\omega t\right)+c_{2}sin eldest(\omega t\right), ˶ˆ꒳ˆ˵ )
ここで、ω=k m . ここで、ω＝k・mである。
定数 c 1 {\\ } の意味
と c 2 {displaystyle c_{2}} のことである。
は、t = 0 {\displaystyle t=0}とすることで簡単に求めることができます。
上の式では、x ( 0 ) = c 1 {\displaystyle x(0)=c_{1}}となります。
となるので、c 1 {displaystyle c_{1}}は
は粒子の初期位置であり、c 1 = x 0 {\displaystyle c_{1}=x_{0}}である。
;この式を微分してゼロで評価すると、x ˙ ( 0 ) = ω c 2 {\displaystyle {dot {x}}(0)=\omega c_{2}}となる。
となるので、c 2 {displaystyle c_{2}}となる。
は、粒子の初速度を角周波数で割ったもので、c 2 = v 0 ω {\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}である。}
である。 したがって，次のように書くことができる： x ( t ) = x 0 cos ( k m t ) + v 0 k m sin ( k m t ) . {displaystyle x(t)=x_{0}_cos eldest({\sqrt {k}{m}}}t\right)+{\sqac {v_{0}}{\sqrt {k}{m}}}}}sin eldest({\sqrt {k}{m}}}t\right).}。
この式は、次のような形でも書くことができます。
x ( t ) = A cos ( ω t – φ ) , {\displaystyle x(t)=A\cos \left(˶ˆ꒳ˆ˵ ), }
ここで
A = c 1 2 + c 2 2 , tan φ = c 2 c 1 , {\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}},qqquad tan ♪\varphi ={frac {c_{2}}{c_{1}}},}
解答において。 c1とc2は初期条件で決まる2つの定数（具体的には、時刻t=0の初期位置はc1、初期速度はc2ω）で、原点は平衡位置とします。 これらの定数は、それぞれ運動の物理的な意味を持っています。 Aは振幅(平衡位置からの最大変位)、ω=2πfは角周波数、φは初期位相です。
微積分の手法を用いて、時間の関数としての速度と加速度を求めることができます。
v ( t ) = d x d t = – A ω sin ( ω t – φ ) , {\displaystyle v(t)={\frac { mathrm {d} x}{\ mathrm {d} t}=-Aomega ˶ sin(˶ᵔᵕᵔ˶),
Speed:
ω A 2 – x 2 {~~~sqrt {A^{2}-x^{2}}}}
最高速度：v=ωA （平衡点にて）
a ( t ) = d 2 x d t 2 = – A ω 2 cos ( ω t – φ ) .
A（t） = d 2 x d t 2 = – A ω 2 cos ( ω t – φ ) . ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-˶ˆ꒳ˆ˵ ).}.
最大加速度。 Aω2 (at extreme points)
定義によれば、質量mがSHMを受けている場合、その加速度は変位に正比例します。
a ( x ) = – ω 2 x . {˶ˆ꒳ˆ˵ ) a(x)=-˶ˆ꒳ˆ˵ )
。