確率の基礎

確率とは、ある結果が起こる可能性を扱う数学の一分野です。

離散確率では、コインをはじく、あるいはダイスを振るといった、よく定義された実験を想定します。 起こりうる個々の結果を「結果」と呼びます。

例えば、コインを2回裏返すという実験を考えます。 個々の結果は4つ、つまり、\{HH},୨୧{TH},୨୧{TT}です。 そのため、サンプル空間は、\{text{HH},\{HT},୨୧{TT}\となります。 少なくとも1つのヘッドが発生する」という事象は、集合 ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ ₎₎となります。

確率論では、ある事象が発生する確率は、いくつかの公理（ルール）を満たすように定義されます。

Probability Rules

Probabilityは数字です。 常に0以上、1以下です。 これは、0leq{text{P}}\left(\{A}\right)\geq{1}と書くことができます。 0.5の確率を持つ事象は、半分の確率で発生します。

すべての可能性の確率の和が1になること。

2つの事象に共通する結果がない場合、どちらか一方が発生する確率は、それぞれの確率の合計になります。 ある事象が30%の試行で発生し、別の事象が20%の試行で発生し、この2つが同時に発生することはない（disjointである）場合、どちらかが発生する確率は30%+20%=50%となります。 これは、足し算の法則と呼ばれることもあり、次のように簡略化できます。 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Jennifer or」という言葉は、数学では「union」と同じ意味で、次のような記号を使います。 \となります。 したがって、\text{A}と\text{B}が分離しているとき、\text{P}\left(\text{A}\cup{text{B}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)が成り立ちます。) ある事象が発生しない確率は、その事象が発生する確率を1から引いたものです。 100%-60%=40%なので，60%の試行で事象が発生しても，残りの40%の試行では事象が発生しないことになります。 ある事象が発生する確率と発生しない確率を足すと、常に100％、つまり1になります。 このような事象を相補的事象といい、この規則を相補規則と呼ぶこともあります。

2つの事象\text{A}と\text{B}は、一方の事象が起こることを知っても、もう一方の事象が起こる確率が変わらない場合、独立しています。 これはよく掛け算の法則と呼ばれます。 もし、\text{A}と\text{B}が独立しているならば、\text{P}\left(\text{A} and} \text{B}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)୨୧┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈。 数学における「and」は、数学でいうところの「intersection」と同じ意味で、次のような記号を使います。 \という記号を使います。 したがって、\text{A}と\text{B}が独立しているとき、\text{P}\left(\text{A}cap{\text{B}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)となります。

例題の拡張

上のコイン2枚を裏返す例題を発展させて、4つの結果それぞれに1/4の確率を割り当てます。 この例では、上記の 5 つのルールのそれぞれについて考えます。

1.それぞれの確率は1/4であり、0と1の間であることに注意してください。

2.すべての確率の合計は1であることに注意してください、なぜならば、\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1であるからです。

3.ちょうど1つの頭が発生する事象を˶{A}、ちょうど2つの尾が発生する事象を˶{B}とします。 このとき、\\{A}=\\{HT},\\{TH}\\{B}=\{text{TT}\は、それぞれ独立しています。 また、\{P}\left(\{A}\cup{\{B}\right)=\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\{P}\left(\{A}\right)+\{P}\left(\{B}\right)となります。

4. 頭がない確率は1/4で、1-3/4になります。 そこで、\{A}=\{HT},\{HH}\が頭が発生する事象である場合、\{P}\left(˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵)=\frac{1}{4}=1-\{P}\left(˶‾᷅˵)となります。

5. 1回目のフリップがヘッドで、2回目のフリップがヘッドになるイベントを\text{B}とすると、\text{A}と\text{B}は独立です。 このとき、\text{A}=\text{HT},\text{HH}\text{B}={\text{TH},\text{HH}、\text{A}=cap{\text{B}={\text{HH}}となります。 Note that \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right).

条件付確率

ある事象の条件付確率とは、他の事象が発生していることを前提に、ある事象が発生する確率のことです。

iv

Key Takeaways

KEY POINTS

• ある事象の条件付き確率\mid{B}\left(\{B}\mid{\text{A}}\right)。 と定義されています。 \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{A}\right)}, when \text{P}\left(\text{A}\right)>0.
• \\\が発生するという知識が、\\\が発生する確率を変えない場合、\\\とBathyは独立した事象であり、\\left(˶‾᷄덴덴덴덴덴덴덴덴덴덴덴덴덴덴덴)となります。
• 数学的には、ベイズの定理により、\{A}と\{B}の確率、\{P}\left(\{A}\right)と\{P}\left(\{B}\right)の関係が示されます。 と、\text{B}が与えられたときの\text{A}と\text{B}の条件付き確率である、\text{P}\text{B}\text{B}\text{B}\rightがあります。 最も一般的な形としては \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}.

KEY TERMS

• 条件付確率。 ある事象が、他の事象が起こった、または他の事象の組み合わせが起こったという制限的な仮定の下で起こる確率
• independent:

Example

サンプル空間でコインが3回裏返ったとします。

\{S}=\{HH},୨୧{HHT},୨୧{THH},୨୧{TTH},୨୧{THT},୨୧{TTT}

個々の結果は確率1/8である。 仮に、Headが1枚以上発生する事象を「B」、3枚のコインがすべて同じである事象を「A」とします。 確率が1/8であることと、確率が2/8であること、そして、\frac{1/8}{2/8}=\frac{1}{2}であることから、\text{A}が与えられたときの確率は1/2となります。

Example

電車の中で誰かと楽しい会話をしたと誰かが言ったとします。 その会話について他に何も知らない場合、彼らが女性と話していた確率は50%です。 次に、その人が長い髪をしていたと聞いたとします。 この街では、女性は男性よりも長い髪をしていることが多いので、女性と話している可能性が高くなります。

その方法を説明するために、\text{W}は、会話が女性と行われたイベントを表し、\text{L}は、会話が長髪の人と行われたイベントを表しています。 この例では、女性が人口の半分を占めていると考えられます。

仮に、この街の女性の75％が長髪であることもわかっているとすると、これを ˶ˆ꒳ˆ˵ ) =0.75とします。 同様に、この街の男性の25％が長髪であることがわかったとすると、\text{P}\left(\text{L}mid{\text{M}}\right)=0.25となります。ここで、\text{M}は、\text{W}の補完的な出来事です。

私たちの目標は、その人が長い髪をしていたという事実から、その会話が女性であった確率を計算することです。 ベイズの定理の公式を使うと、次のようになります。

\text{P}\left(\text{W}\mid{\text{L}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{W}}\right)\text{P}\left(\text{W}\right)}{\text{P}\left(\text{L}\right)}=\frac{\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{W}}\right)\text{P}\left(\text{W}\right)}{\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{W}}\right)\text{P}\left(\text{W}\right)+\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{M}}\right)\text{P}\left(\text{M}\right)}=\frac{0.75\\\\\\\\\\\\\\\\\\\amatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsuamatsu

確率は、実験のサンプル空間の定義や事象の定義で見たように、数学的な集合の考え方を用いています。

和

2つ以上の集合の和は、それぞれの集合のすべての要素を含む集合であり、要素は少なくとも1つの集合に属していれば、和に含まれます。 これは、\text{A}\cup{\text{B}}が、\text{A}または\text{B}（またはその両方）に含まれるすべての要素の集合であるためです。 2つの集合の和を求めるには、どちらか（または両方）の集合に含まれる要素を列挙します。

記号では、˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ )

\text{A}\cup{\text{B}}=\{\text{x}:\text{x}\in{\text{A}} \\\\

例えば、\\={1,3,5,7}、\\\={1,2,4,6}だとします。 とすると、\\\\\\\\\\\\\\\⁾⁾となります。 要素1は、集合\{A}と\{B}の両方に現れているにもかかわらず、結合の中で2回もリストアップされていないことに注意してください。 このことから、2つの事象の和についての一般的な加算ルールがわかります。

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)−\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)

ここで、\text{P}\left(\text{A}cap{\text{B}\right)は、2つのセットの交点です。

しかし、セット\{A}と\{B}が分離している場合、イベント\{A}\cap{\text{B}には結果が含まれておらず、確率が0の空のセット、∅となります。

このルールは、disjointなセットの場合に限り、短縮することができます。

このルールは、すべてのセットがdisjointであれば、さらに多くのセットに拡張することもできます。

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\cup{\text{C}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)+\text{P}\left(\text{C}\right)

交点

2つ以上の集合の交点とは、それぞれの集合に共通する要素の集合のことです。 ある要素がすべての集合に属する場合、その要素は交点にあります。 これは、\text{A}\cap{\text{B}}が、\text{A}と\text{B}に同時に含まれる要素の集合であることを意味します。 2つ以上の集合の交点を求めるには、両方（またはすべて）の集合に記載されている要素だけを含めます。 Venn Diagramでいうと、2つの集合\text{A}と\text{B}の交点は、連動する2つの円の真ん中の斜線部分に示すことができます。

数学の表記法では、\text{A}\cap{text{B}}=\{text{x}:\{text{A} and ˶‾᷅˵‾᷅˵}と書きます。 例えば、\{A}=\{1,3,5,7}、\{B}=\{1,2,4,6}とすると、1はどちらの集合にも現れる唯一の要素であるため、\{A}cap{\{B}=\{1\}となります。

事象が独立している場合、つまり、ある事象の結果が他の事象の結果に影響を与えない場合、独立事象の乗算規則を使うことができます。

\\\\\\\\\\\\

例えば、コインを2回投げて、頭が2つ出る確率を知りたいとします。 1回目のトスは2回目のトスに影響しないので、これらのイベントは独立しています。 1回目のトスがヘッドで、2回目のトスがヘッドになる事象を ˶ˆ꒳ˆ˵ ) とすると、 ˶ˆ꒳ˆ˵ ) =͟͟͞͞(๑˃̵ᴗ˂̵)

Complementary Events

Complementary of ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵

相補的事象とは？

確率論では、任意の事象\text{A}の補数は、すなわち、\text{A}が発生しない事象です。 つまり、どちらか一方が発生すれば、もう一方は発生しないということであり、両方のグループがすべての可能性をカバーしていることを意味します。 一般的には、\text{A}と\text{B}が相互に排他的かつ網羅的であるような事象は1つしかなく、その事象は\text{A}の補数である。