「ねえ、私のジーンズに穴があいちゃったの。 繕ってくれないか？”

あなたの伝説的な針と糸の腕前を知っている友人が、助けを求めてメールを送ってきました。

「もちろん、簡単だよ」とあなたは答えます。 “

「穴の大きさはどれくらい？」

「どれも変な形だけど、1インチ以上の幅はないわね。

あなたはソーイングキットから、直径1インチの円形パッチを取り出しました。 “これで大丈夫だろう」と自分では思っていました。 しかし、果たしてそうでしょうか？

キットの中にある別のパッチを見てみましょう。1インチの辺を持つ正三角形です。 三角形の2つの点が1インチ以上離れていないことから、友人のジーンズの穴もこの形になるかもしれないと考えます。

初歩的な幾何学では、三角形の高さ（$latex ˶ˆ꒳ˆ˵）は、円の半径（$latex ˶ˆ꒳ˆ˵）よりも大きいことが確認できました。 円は三角を覆うことができず、三角も円を覆うことができません。

安全のために、本当に大きなパッチを使うこともできますが、貴重な素材を無駄にしたくはありません。

安全のために大きなパッチを使うこともできますが、貴重な材料を無駄にしたくありません。 ネットで検索してみると、数学者もこの問題を考えていました。 100年以上も前から、最小の万能カバーを探しているのです。

「万能カバー問題」は、1914年にアンリ・ルベーグが仲間の数学者ジュリウス・パルに宛てた手紙の中で初めて提起しました。

ある点の集合が別の点の中に収まる場合、穴を覆うパッチのように、第2の集合が第1の集合を「覆う」と言います。 ユニバーサルカバー」とは、直径1のすべての図形のように、図形のセット全体を覆うことができる領域のことで、ルベーグのユニバーサルカバー問題では、トリックを行う最小の凸領域を求めます。

このような一見初歩的な幾何学の問題が、100年間も解かれていないことに驚かれるかもしれません。 しかし、この問題を難しくしているのは、直径1の形状がどのようなものであるかを正確に把握するのが難しいということです。

直径 1 の集合をカバーすることに関しては、機能することがわかっている形状がたくさんありますが、最小であることがわかっている形状はありません。

まず、直径1の領域Rがあるとします。 Rがどのような形をしているかは全くわかりません。ただ、私たちがカバーしようとしている穴と同じように、Rの幅が1単位以上になることはないということだけはわかっています。

さて、Rに3つ目の点Cがあるとします。Cはどこにあるでしょうか。

しかし、CはBから1単位以上離れることはできないので、Aを中心とする半径1の円盤の中になければならない。

つまり、点Cは2つの円盤の交点になければならないということです。

この議論は点Cだけでなく、Rのすべての可能な点に適用されます。つまり、Rのすべての点は2つの円の交点になければなりません。

しかし、このユニバーサルカバーは最小の面積を持っていません。

円の交点がAとBで2つの正三角形を形成していることと、線分ABの上端(と下端)から中央までの距離が$latex ˶ˆ꒳ˆ˵$単位であることに注意してください。 > ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ ←このように、$latex overline{AB}$から左右に$latex frac{1}{2}$単位の平行線を引くことができます。

ここで、上の平行線の上と下の平行線の下にある赤の2つの領域を考えてみましょう。

2つの平行線の間の距離は1なので、直径1の集合が両方の赤い領域に同時に存在することはありえません。

2本の平行線の距離は1なので、直径1の集合が両方の赤い領域に同時に存在することはありません。

私たちの元々のカバー（2つの円盤の交点）の面積は、$latex ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ / $latex ˶‾᷅˵ / $latex ˶‾᷅˵ / $latex ˶‾᷅˵ / $latex ˶‾᷅˵ / $latex ˶‾᷅˵ / $latex ˶‾᷅˵ / $latex ˵ \また、新しいカバーの面積は、$latex ‾frac{\pi}{2}-‾frac{1}{2}です。 \1.071となります。

このようにして、数学者は現在の最小の万有引力にたどり着いたのです。 さらに高度な技術を用いれば、他の単純な図形から始めることもできます。 例えば、1×1の正方形がユニバーサル・カバーであることを示すことができます。

下の図は、直径1の様々な形をカバーするPálの六角形です。 真ん中の図形はルーローの三角形で、上で作成したカバーの例と密接に関連する一定の幅の曲線です。

この六角形の面積は $latex ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ / $latex ˶‾᷅˵ / $latex ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ / $latex ˶‾᷄ -̫ ‾᷄˵ / $latex ˶‾᷅

この六角形の面積は $latex frac{³{3}}{2} 0.866 で、例題のカバーや単位正方形の面積よりも小さくなります。 しかし、Pálは、六角形全体が必要ではないことも示しました。

Pál氏の六角形のコピーを2枚重ねた状態から始めて

そのうちの1枚を中心に対して30度回転させます。

2つの六角形の交点によって形成される12角形のように、多くのクールなものが作られますが、私たちが最も興味を持っているのは、以下に示す6つの小さな赤い三角形です。

各赤い三角形は、元の六角形の内側にも、回転した六角形の外側にもあります。

それぞれの赤い三角形は、元の六角形の内側にも、回転した六角形の外側にもあります。 上の議論のように、直径1のセットが同時に両方に存在することはないので、ユニバーサルカバーには、対向する各ペアの両方の三角形は必要ありません。 つまり、いくつかの三角形を取り除くことができるはずです。 楽観的には、各ペアから1つずつ、計3つの三角形を取り除くことができるかもしれません。 しかし、残念ながら、カバーから3つの赤い三角形を削除しても、直径1の可能なセットをすべて処理することはできません。

六角形は、60 度回転させても、対称線の 1 つを越えて反転させても、何も変わりません。したがって、対向する各ペアから 1 つの赤い三角形を選択する方法は、実際には 2 通りしかありません。 3つの三角形が連続している場合と、交互に並んでいる場合です。

カバーする必要のあるセットが、左のように 3 つの連続した三角形を占めている場合、右のように 3 つの交互の三角形を取り除くことで得られる形状ではカバーできません。 また、3つの三角形が交互に並んでいる場合は、連続する3つの三角形を取り除くことで得られる形状ではカバーできません。 3つの三角形のいずれかのセットを取り除くと、直径1のセットの可能性が残されています。 したがって、3 つの赤い三角形を削除することはできません。

しかし、2 つの三角形を削除することはできます。 上述の2つの問題のあるセットは、隣接も反対もしていない2つの赤い三角形を削除すれば、まだカバーすることができます。

彼は、直径 1 のすべての領域をカバーすることが保証された新しい形状を得るために、六角形から 2 つの三角形をスライスしました。

彼は六角形から2つの三角形を切り取って、直径1のすべての領域をカバーすることが保証された新しい図形を作りました。この新しいユニバーサルカバーの面積は、2 – $latex ˶ˆ꒳ˆ˵ )

そして、トリミングを続けました。 1936年にはRoland Sprague、1992年にはH.C.Hansenという数学者が、より小さな断片を取り除くことに成功しました。 そして数年前、アマチュアの数学者であるフィリップ・ギブスが、数学者ジョン・バエズのブログ記事に触発されて、新たな切り落としのためのピースを提案しました。

良いニュースは、私たちが切り落とすべきPálの六角形の断片を見つけ続けていることです。 悪いニュースは、その断片が非常に小さいということです。 Spragueの研究では、カバーの面積が約0.001平方単位減少し、Hansenの研究では0.000000004平方単位しか減少しませんでした。 Gibbsとその共同研究者たちは、ハンセンのカバーを約0.00002平方単位減らしましたが、それに比べると大きな削減のように思えます。

どこまで下げられるのでしょうか？ 2005年にPeter BrassとMehrbod Sharifiが、0.832平方単位より小さい万有引力は存在しないことを証明したので、現在の記録をこれ以上削ることはできないことがわかっています。 しかし、新しいテクニックや新しい出発点を思いつくことができれば、最小のユニバーサルカバーに近づけることができ、自分のために数学の歴史の一部を切り取ることができるかもしれません。 ただ、一番難しいのは、直径1の集合がどのような形になるかを無限に想像することです。 そして、すべての可能性をカバーしていることを確認することです。