これはベクトルです：

ベクトルには大きさ（サイズ）と方向があります。

線の長さはその大きさを示し、矢じりは方向を指しています。

2つのベクトルを頭から尻尾までつなげて足すことができます：

しかも、どの順番で足しても同じ結果になります。

速度、加速度、力など、さまざまなものがベクトルです。

引き算

あるベクトルから別のベクトルを引くこともできます。

• まず、引きたいベクトルの向きを逆にします。

a – b

注釈

ベクトルはaやbのように太字で書かれることが多いです。

ベクトルは次のように、頭と尻尾の文字 に上に矢印をつけて書くこともできます。

Calculations

さて．……どうやって計算するのでしょうか？

最も一般的な方法は、以下のように、まずベクトルをxとyの部分に分割することです：

ベクトルaは、
2つのベクトルaxとayに分割されます

（この方法は後述します。

ベクトルの足し算

xの部分を足し算し、yの部分を足し算してベクトルを足すことができます：

ベクトル(8, 13)とベクトル(26, 7)を足し算して、ベクトル(34, 20)になります

このようにベクトルを分解するとき、それぞれの部分を成分といいます。

ベクトルの引き算

引き算をするには、まず引きたいベクトルを反転させ、次に足し算をします。

ベクトルの大きさ

ベクトルの大きさは、ベクトルの両脇にある2本の縦棒で示されます。

|a|

または、（絶対値と混同しないように）二重の縦棒で書くこともできます。

|a||

ピタゴラスの定理を使って計算します：

|a| = √( x2 + y2 )

大きさが1のベクトルを単位ベクトルといいます。

ベクトルとスカラーの比較

スカラーは大きさ(サイズ)のみを持ちます。

• だからcはベクトルで、大きさと方向を持っています
• でもcは3や12のようにただの値です
• だからcはベクトルで、大きさと方向を持っています
• でもcは3や12のようにただの値です。4

例：kbは実際にはスカラーkにベクトルbを掛けたものです。

Multiplying a Vector by a Scalar

ベクトルにスカラーを掛けることは、ベクトルの大きさや小ささを変えることになるので、「スケーリング」と呼ばれます。

例を示します。 ベクトルm=(7, 3)にスカラー3を乗じる

a = 3m = (3×7, 3×3) = (21, 9)

まだ同じ方向を向いていますが、3倍長くなっています

(そして、なぜ数が「スカラー」と呼ばれるのか、それはベクトルを上下に「スケーリング」するからだということがわかりました。)

ベクトルとベクトルの掛け算(ドット積とクロス積)

2つのベクトルを掛け合わせるにはどうすればよいのでしょうか？ スカラーまたはドット積（結果はスカラー） ベクトルまたはクロス積（結果はベクトル） （詳細はこれらのページをお読みください。)

2次元以上

ベクトルは3次元以上でも完全に動作します。


ベクトル (1, 4, 5)

Example: ベクトルa = (3, 7, 4)とb = (2, 9, 11)を足す

c = a + b

c = (3, 7, 4) + (2, 9, 11) = (3+2, 7+9, 4+11) = (5, 16, 15)

例：ベクトルw = (1, -2, 3)の大きさは何ですか？

|w| = √( 12 + (-2)2 + 32 ) = √( 1+4+9 ) = √14

ここで、4次元の例を挙げます(ただし、描くのは難しい!)。):

例です。 (3, 3, 3, 3)から(1, 2, 3, 4)を引く

(3, 3, 3) + -(1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (-1, -2, -3, -4)
= (3-1, 3-2, 3-3, 3-4)
= (2, 1, 0, -1)

大きさと方向

ベクトルの大きさと方向はわかっていても、xとyの長さ（またはその逆）が知りたい場合があります。

div

	<>
極座標におけるベクトルa		デカルトにおけるベクトル

極座標と直交座標での変換方法をご覧ください。

変換方法は極座標と直交座標でご覧いただけますが、ここでは簡単にまとめてみました。

極座標(r,θ) から直交座標(x,y)へ		直交座標(x,y) から極座標(r,θ)
x = r × cos( θ ) y = r × sin( θ )	r = √ ( x2 + y2 ) θ = tan- 。1 ( y / x )



An example

SamとAlexが箱を引っ張っています。

• サムは60°で200ニュートンの力で引っ張ります
• アレックスは図のように45°で120ニュートンの力で引っ張ります

結合された力とその方向は何でしょうか？

2つのベクトルを頭から尻尾まで加えてみましょう：



まず極座標からデカルト座標への変換（小数点以下2桁まで）：

サムのベクトル：

• x = r × cos( θ ) = 200 × cos(60°) = 200 × 0.5 = 100
• y = r × sin( θ ) = 200 × sin(60°) = 200 × 0.8660 = 173.21

Alexのベクトル：

• x = r × cos( θ ) = 120 × cos(-45°) = 120 × 0.7071 = 84.85
• y = r × sin( θ ) = 120 × sin(-45°) = 120 × -0.7071 = -84.85

これで次のようになりました：



足し算：

(100, 173.21) + (84.85, -84.85) = (184.85, 88.36)

この答えは有効ですが、質問が極座標だったので極座標に変換してみましょう：

• r = √ ( x2 + y2 ) = √ ( 184.852 + 88.362 ) = 204.88
• θ = tan-1 ( y / x ) = tan-1 ( 88.36 / 184.85 ) = 25.5°

そして、次のような（丸められた）結果が得られました：


そして、サムとアレックスの場合は次のようになります：


肩を並べていれば、もっと良い結果が得られるかもしれません！

このような結果が得られました。