Biografia
O nome completo de Omar Khayyam era Ghiyath al-Din Abu’l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami. Uma tradução literal do nome al-Khayyami (ou al-Khayyam) significa ‘fabricante de tendas’ e isto pode ter sido o ofício de Ibrahim seu pai. Khayyam brincou sobre o significado do seu próprio nome quando escreveu:-
Khayyam, que coseu as tendas da ciência,
Caiu na fornalha da dor e foi subitamente queimado,
A tesoura do destino cortou as cordas da sua vida,
E o corretor da Esperança vendeu-o por nada!Os acontecimentos políticos do século XI desempenharam um papel importante no decurso da vida de Khayyam. Os turcos Seljuq foram tribos que invadiram o sudoeste asiático no século XI e acabaram por fundar um império que incluiu a Mesopotâmia, a Síria, a Palestina, e a maior parte do Irão. Os Seljuq ocuparam as pastagens de Khorasan e depois, entre 1038 e 1040, conquistaram todo o nordeste do Irão. O governante Seljuq Toghrïl Beg proclamou-se sultão em Nishapur em 1038 e entrou em Bagdad em 1055. Foi neste difícil império militar instável, que também teve problemas religiosos ao tentar estabelecer um estado muçulmano ortodoxo, que Khayyam cresceu.
Khayyam estudou filosofia em Naishapur e um dos seus colegas escreveu que ele era:-…. dotado de astúcia e dos mais altos poderes naturais …No entanto, este não era um império em que os de aprendizagem, mesmo aqueles tão instruídos como Khayyam, achassem a vida fácil, a menos que tivessem o apoio de um governante num dos muitos tribunais. Mesmo esse patrocínio não proporcionaria demasiada estabilidade, uma vez que a política local e as fortunas do regime militar local decidiam quem de cada vez detinha o poder. O próprio Khayyam descreveu as dificuldades de aprendizagem dos homens durante este período na introdução ao seu Tratado de Demonstração de Problemas de Álgebra (ver por exemplo ):-
Não fui capaz de me dedicar à aprendizagem desta álgebra e à contínua concentração nela, devido a obstáculos nos caprichos do tempo que me impediam; pois fomos privados de todas as pessoas de conhecimento, excepto para um grupo, pequeno em número, com muitos problemas, cuja preocupação na vida é agarrar a oportunidade, quando o tempo está a dormir, de se dedicarem entretanto à investigação e à perfeição de uma ciência; pois a maioria das pessoas que imitam os filósofos confundem o verdadeiro com o falso, e não fazem mais do que enganar e fingir o conhecimento, e não usam o que sabem das ciências excepto para fins básicos e materiais; e se vêem uma certa pessoa procurar o certo e preferir a verdade, fazendo o seu melhor para refutar o falso e falso e deixando de lado a hipocrisia e o engano, fazem dele um tolo e zombam dele.No entanto Khayyam foi um matemático e astrónomo excepcional e, apesar das dificuldades que descreveu nesta citação, escreveu várias obras incluindo Problemas de Aritmética, um livro sobre música e um sobre álgebra antes de ter 25 anos de idade. Em 1070 mudou-se para Samarkand, no Uzbequistão, uma das mais antigas cidades da Ásia Central. Lá Khayyam foi apoiado por Abu Tahir, um proeminente jurista de Samarkand, e isto permitiu-lhe escrever a sua obra mais famosa sobre álgebra, o Tratado de Demonstração de Problemas de Álgebra, do qual demos a citação acima. Descreveremos o conteúdo matemático deste trabalho mais adiante nesta biografia.
Toghril Beg, o fundador da dinastia Seljuq, tinha feito de Esfahan a capital dos seus domínios e o seu neto Malik-Shah era o governante dessa cidade desde 1073. Um convite foi enviado a Khayyam por Malik-Shah e pelo seu vizir Nizam al-Mulk pedindo a Khayyam que fosse a Esfahan para aí criar um Observatório. Outros astrónomos importantes foram também trazidos para o Observatório em Esfahan e durante 18 anos Khayyam liderou os cientistas e produziu um trabalho de excelente qualidade. Foi um período de paz durante o qual a situação política permitiu a Khayyam a oportunidade de se dedicar inteiramente ao seu trabalho académico.
Durante este tempo Khayyam liderou o trabalho de compilação de tabelas astronómicas e também contribuiu para a reforma do calendário em 1079. Cowell cita The Calcutta Review No 59:-Quando o Malik Shah determinou reformar o calendário, Omar foi um dos oito homens eruditos empregados para o fazer, o resultado foi a era Jalali (assim chamada de Jalalal-ud-din, um dos nomes do rei) – ‘um cálculo do tempo’, diz Gibbon, ‘que ultrapassa o Juliano, e aproxima-se da precisão do estilo Gregoriano.Khayyam mediu a duração do ano em 365,24219858156 dias. Dois comentários sobre este resultado. Primeiro, mostra uma confiança incrível ao tentar dar o resultado com este grau de exactidão. Sabemos agora que a duração do ano está a mudar na sexta casa decimal ao longo da vida de uma pessoa. Em segundo lugar, é extraordinariamente exacto. Para comparação, a duração do ano no final do século XIX era de 365,242196 dias, enquanto que hoje é de 365,242190 dias.
Em 1092 eventos políticos terminaram o período de existência pacífica de Khayyam. Malik-Shah morreu em Novembro desse ano, um mês após o seu vizir Nizam al-Mulk ter sido assassinado na estrada de Esfahan para Bagdade pelo movimento terrorista chamado Assassinos. A segunda esposa de Malik-Shah assumiu o poder durante dois anos, mas ela tinha discutido com Nizam al-Mulk, pelo que agora aqueles que ele tinha apoiado encontraram esse apoio retirado. O financiamento para gerir o Observatório cessou e a reforma do calendário de Khayyam foi colocada em espera. Khayyam também foi atacado pelos muçulmanos ortodoxos que sentiram que a mente questionadora de Khayyam não estava de acordo com a fé. Ele escreveu no seu poema o Rubaiyat :-Indeed, the Idols I have loved so long
Have done my Credit in Men’s Eye much Wrong:
Have drowned my Honour in a rasow cup,
And sell my reputation for a Song.Apesar de estar fora do favor de todos os lados, Khayyam permaneceu no Tribunal e tentou recuperar o favor. Ele escreveu uma obra na qual descreveu os antigos governantes do Irão como homens de grande honra que tinham apoiado obras públicas, ciência e bolsas de estudo.
O terceiro filho de Malik-Shah, Sanjar, que era governador de Khorasan, tornou-se o governante geral do império Seljuq em 1118. Algum tempo depois deste Khayyam deixou Esfahan e viajou para Merv (agora Maria, Turquemenistão), que Sanjar tinha feito a capital do império Seljuq. Sanjar criou um grande centro de aprendizagem islâmica em Merv onde Khayyam escreveu mais trabalhos sobre matemática.
O trabalho de Khayyam é um trabalho inicial sobre álgebra escrito antes do seu famoso texto de álgebra. Nele ele considera o problema:-Conhece um ponto num quadrante de um círculo de tal forma que quando um normal é largado do ponto para um dos raios limitantes, a razão entre o comprimento do normal e o do raio é igual à razão entre os segmentos determinados pelo pé do normal.
Khayyam mostra que este problema é equivalente à resolução de um segundo problema:-
De modo a encontrar um triângulo direito com a propriedade de que a hipotenusa é igual à soma de uma perna mais a altitude na hipotenusa.
Este problema, por sua vez, levou Khayyam a resolver a equação cúbica x3+200x=20×2+2000x^{3} + 200x = 20x^{2} + 2000×3+200x=20×2+2000 e encontrou uma raiz positiva desta cúbica ao considerar a intersecção de uma hipérbole rectangular e um círculo. Uma solução numérica aproximada foi então encontrada por interpolação em tabelas trigonométricas. Talvez ainda mais notável é o facto de Khayyam afirmar que a solução desta cúbica requer o uso de secções cónicas e que não pode ser resolvida por métodos de régua e bússola, um resultado que não seria provado por mais 750 anos. Khayyam também escreveu que esperava dar uma descrição completa da solução das equações cúbicas num trabalho posterior :-
Se a oportunidade surgir e eu puder ter sucesso, darei todas estas catorze formas com todos os seus ramos e casos, e como distinguir o que for possível ou impossível para que seja preparado um papel, contendo elementos que são muito úteis nesta arte.Indeed Khayyam produziu tal trabalho, o Tratado de Demonstração de Problemas de Álgebra que continha uma classificação completa de equações cúbicas com soluções geométricas encontradas por meio de intersecção de secções cónicas. De facto, Khayyam dá um interessante relato histórico no qual afirma que os gregos não tinham deixado nada sobre a teoria das equações cúbicas. De facto, como Khayyam escreve, as contribuições de escritores anteriores como al-Mahani e al-Khazin foram para traduzir problemas geométricos em equações algébricas (algo que era essencialmente impossível antes do trabalho de al-Khwarizmi). Contudo, o próprio Khayyam parece ter sido o primeiro a conceber uma teoria geral de equações cúbicas. Khayyam escreveu (ver por exemplo ou ):-
Na ciência da álgebra depara-se com problemas dependentes de certos tipos de teoremas preliminares extremamente difíceis, cuja solução não foi bem sucedida para a maioria daqueles que a tentaram. Quanto aos Antigos, nenhum trabalho deles sobre o assunto chegou até nós; talvez depois de terem procurado soluções e de as terem examinado, não tenham sido capazes de compreender as suas dificuldades; ou talvez as suas investigações não exigissem tal exame; ou finalmente, os seus trabalhos sobre este assunto, se é que existiam, não foram traduzidos para a nossa língua.Outra realização no texto da álgebra é a compreensão de Khayyam de que uma equação cúbica pode ter mais do que uma solução. Ele demonstrou a existência de equações com duas soluções, mas infelizmente não parece ter descoberto que uma cúbica pode ter três soluções. Ele esperava que “soluções aritméticas” pudessem ser encontradas um dia quando escreveu (ver por exemplo ):-
Talvez outra pessoa que venha atrás de nós possa descobrir no caso, quando não existem apenas as três primeiras classes de poderes conhecidos, nomeadamente o número, a coisa e o quadrado.A “outra pessoa que vem depois de nós” foi de facto del Ferro, Tartaglia e Ferrari no século XVI. Também no seu livro de álgebra, Khayyam refere-se a outra obra sua que agora está perdida. Na obra perdida, Khayyam discute o triângulo Pascal, mas não foi o primeiro a fazê-lo desde que al-Karaji discutiu o triângulo Pascal antes desta data. De facto, podemos estar bastante seguros de que Khayyam utilizou um método de encontrar a enésima raiz com base na expansão binomial e, portanto, nos coeficientes binomiais. Isto decorre da seguinte passagem do seu livro de álgebra (ver por exemplo , ou ):-
Os índios possuem métodos para encontrar os lados dos quadrados e cubos baseados nesse conhecimento dos quadrados de nove figuras, ou seja o quadrado de 1, 2, 3, etc., e também os produtos formados pela multiplicação uns pelos outros, ou seja, os produtos de 2, 3, etc. Compus um trabalho para demonstrar a exactidão destes métodos, e provei que eles conduzem ao objectivo pretendido. Além disso, aumentei as espécies, ou seja, mostrei como encontrar os lados do quadrado-quadrado, quatro-cubos, cubo-cubo, etc., para qualquer comprimento, o que não tinha sido feito até agora. As provas que dei nesta ocasião são apenas provas aritméticas baseadas nas partes aritméticas dos “Elementos” de Euclides.In Comentários sobre os postulados difíceis do livro de Euclides Khayyam fez uma contribuição para a geometria não-euclidiana, embora esta não fosse a sua intenção. Ao tentar provar os postulados paralelos, provou acidentalmente propriedades de figuras em geometrias não-euclídeas. Khayyam também deu importantes resultados sobre rácios neste livro, alargando o trabalho de Euclides para incluir a multiplicação de rácios. A importância da contribuição de Khayyam é que ele examinou tanto a definição de Euclides de igualdade de rácios (que foi a primeira proposta por Eudoxus) como a definição de igualdade de rácios proposta por matemáticos islâmicos anteriores, tais como al-Mahani, que se baseava em fracções contínuas. Khayyam provou que as duas definições são equivalentes. Ele também colocou a questão de saber se um rácio pode ser considerado como um número mas deixa a questão sem resposta.
Fora do mundo da matemática, Khayyam é mais conhecido como resultado da tradução popular de Edward Fitzgerald em 1859 de quase 600 poemas curtos de quatro linhas do Rubaiyat. A fama de Khayyam como poeta fez com que alguns esquecessem os seus feitos científicos, que eram muito mais substanciais. As versões das formas e versos utilizados no Rubaiyat existiam na literatura persa antes de Khayyam, e apenas cerca de 120 dos versos lhe podem ser atribuídos com certeza. De todos os versos, o mais conhecido é o seguinte:-The Moving Finger writes, and, having writ,
Moves on: nor all thy Piety nor Wit
Shall lure it back to cancel half a Line,
Nor all thy Tears wash out a Word of it.