In de Newtoniaanse mechanica kan voor eendimensionale eenvoudige harmonische beweging de bewegingsvergelijking, die een tweede-orde lineaire gewone differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten is, worden verkregen met behulp van de 2e wet van Newton en de wet van Hooke voor een massa op een veer.

F n e t = m d 2 x d t 2 = – k x , {Displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {{\mathrm {d}} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}=-kx,}

waarin m de traagheidsmassa is van het oscillerende lichaam, x de verplaatsing is ten opzichte van de evenwichts(of gemiddelde) positie, en k een constante is (de veerconstante voor een massa op een veer).

Daaruit volgt,

d 2 x d t 2 = – k m x , {{displaystyle {\frac {mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}=-{\frac {k}{m}}x,}

Oplossen van bovenstaande differentiaalvergelijking levert een oplossing op die een sinusoïdale functie is:

x ( t ) = c 1 cos ( ω t ) + c 2 sin ( ω t ) , {displaystyle x(t)=c_{1}}cos \links(\omega t\rechts)+c_{2}sin \links(\omega t\rechts),\quad }

waarbij ω = k m . {\displaystyle \qquad \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}.}

De betekenis van de constanten c 1 {\displaystyle c_{1}}

en c 2 {\displaystyle c_{2}}

kunnen eenvoudig worden gevonden: stel t = 0 {\displaystyle t=0}

op de bovenstaande vergelijking zien we dat x ( 0 ) = c 1 {\displaystyle x(0)=c_{1}}

, zodat c 1 {{Displaystyle c_{1}}

de beginpositie van het deeltje is, c 1 = x 0 {{displaystyle c_{1}=x_{0}}

; door de afgeleide van deze vergelijking te nemen en te evalueren op nul krijgen we dat x ˙ ( 0 ) = ω c 2 {\displaystyle {{1}=x_{0}} ; door de afgeleide van deze vergelijking te nemen en te evalueren op nul krijgen we dat x ˙ ( 0 ) = ω c 2 {\displaystyle {{1}}(0)= {{1}=x_{0}}}

, zodat c 2 {\displaystyle c_{2}}

is de beginsnelheid van het deeltje gedeeld door de hoekfrequentie, c 2 = v 0 ω {\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}

. We kunnen dus schrijven: x ( t ) = x 0 cos ( k m t ) + v 0 k m sin ( k m t ) . {\displaystyle x(t)=x_{0}cos \links({\sqrt {k}{m}}t}rechts)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}}sin \links({\sqrt {k}{m}}t}rechts)}.

Deze vergelijking kan ook worden geschreven in de vorm:

x ( t ) = A cos ( ω t – φ ) , {{Displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \rechts),}

waar

A = c 1 2 + c 2 2 , tan φ = c 2 c 1 , {\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}},\qquad \tan φ ={\frac {c_{2}}{c_{1}}}},}

In de oplossing, c1 en c2 zijn twee constanten die bepaald worden door de beginvoorwaarden (de beginpositie op tijdstip t = 0 is c1, terwijl de beginsnelheid c2ω is), en de oorsprong wordt gesteld op de evenwichtspositie. Elk van deze constanten heeft een fysische betekenis van de beweging: A is de amplitude (maximale verplaatsing vanuit de evenwichtspositie), ω = 2πf is de hoekfrequentie, en φ is de beginfase.

Met behulp van de technieken van de calculus kunnen de snelheid en de versnelling als functie van de tijd worden gevonden:

v ( t ) = d x d t = – A ω sin ( ω t – φ ) , {{\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),}

Snelheid:

ω A 2 – x 2 {\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}

Maximale snelheid: v=ωA (in evenwichtspunt)

a ( t ) = d 2 x d t 2 = – A ω 2 cos ( ω t – φ ) . {\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}=-A^omega ^{2}cos(\omega t-\varphi ).}

Maximale versnelling: Aω2 (op extreme punten)

Bij een massa m onder SHM is de versnelling per definitie recht evenredig met de verplaatsing.

a ( x ) = – ω 2 x . {Displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}