2.8 Autocorrelatie
Net zoals correlatie de mate van een lineair verband tussen twee variabelen meet, meet autocorrelatie het lineaire verband tussen vertraagde waarden van een tijdreeks.
Er zijn verschillende autocorrelatiecoëfficiënten, die corresponderen met elk paneel in de vertragingsplot. Zo meet \(r_{1}) het verband tussen \(y_{t}) en \(y_{t-1}), \(r_{2}) het verband tussen \(y_{t}) en \(y_{t-2}), enzovoort.
De waarde van (r_{k}) kan als volgt worden geschreven: (T) is de lengte van de tijdreeks.
De eerste negen autocorrelatiecoëfficiënten voor de bierproductiegegevens staan in de volgende tabel.
| (r_1) | (r_2) | (r_3) | (r_4) | (r_5) | (r_6) | (r_7) | (r_8) | (r_9) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -0.102 | -0.657 | -0.060 | 0.869 | -0.089 | -0.635 | -0.054 | 0.832 | -0.108 |
Deze komen overeen met de negen scatterplots in figuur 2.13. De autocorrelatiecoëfficiënten worden uitgezet om de autocorrelatiefunctie of ACF te tonen. De plot staat ook bekend als een correlogram.
ggAcf(beer2)
Figuur 2.14: Autocorrelatiefunctie van de driemaandelijkse bierproductie.
In deze grafiek:
- (r_{4}) is hoger dan voor de andere lags. Dit komt door het seizoenspatroon in de gegevens: de pieken liggen meestal vier kwartalen uit elkaar en de dalen liggen meestal vier kwartalen uit elkaar.
- (r_{2}\) is negatiever dan voor de andere vertragingen omdat de dalen meestal twee kwartalen achter de pieken liggen.
- De blauwe stippellijnen geven aan of de correlaties significant van nul verschillen. Deze worden toegelicht in paragraaf 2.9.
Trend en seizoensafhankelijkheid in ACF-plots
Wanneer gegevens een trend vertonen, hebben de autocorrelaties voor kleine vertragingen de neiging groot en positief te zijn omdat waarnemingen dichtbij in de tijd ook dichtbij in omvang zijn. Dus de ACF van getrende tijdreeksen hebben de neiging positieve waarden te hebben die langzaam afnemen naarmate de vertragingen toenemen.
Wanneer gegevens seizoensgebonden zijn, zullen de autocorrelaties groter zijn voor de seizoensvertragingen (bij veelvouden van de seizoensfrequentie) dan voor andere vertragingen.
Wanneer gegevens zowel getrend als seizoensgebonden zijn, ziet u een combinatie van deze effecten. De maandelijkse Australische elektriciteitsvraag, uitgezet in Figuur 2.15, vertoont zowel trend als seizoensgebondenheid. De ACF wordt getoond in figuur 2.16.
aelec <- window(elec, start=1980)autoplot(aelec) + xlab("Year") + ylab("GWh")
Figuur 2.15: Maandelijkse Australische elektriciteitsvraag van 1980-1995.
ggAcf(aelec, lag=48)
Figuur 2.16: ACF van de maandelijkse Australische elektriciteitsvraag.
De langzame afname van de ACF naarmate de vertragingen toenemen is het gevolg van de trend, terwijl de “geschulpte” vorm het gevolg is van de seizoensafhankelijkheid.