Fundamentals of Probability

Probabiliteit is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de waarschijnlijkheid dat bepaalde uitkomsten zich zullen voordoen. Er zijn vijf basisregels, of axioma’s, die men moet begrijpen bij het bestuderen van de grondbeginselen van kansberekening.

In discrete waarschijnlijkheid gaan we uit van een goed gedefinieerd experiment, zoals het opgooien van een munt of het gooien van een dobbelsteen. Elk individueel resultaat dat kan optreden, wordt een uitkomst genoemd. De verzameling van alle uitkomsten wordt de steekproefruimte genoemd, en elke deelverzameling van de steekproefruimte wordt een gebeurtenis genoemd.

Bedenk bijvoorbeeld het experiment waarbij twee keer een munt wordt opgegooid. Er zijn vier individuele uitkomsten, namelijk \text{HH},\text{HT},\text{TH},\text{TT}. De steekproefruimte is dus \text{HH},\text{HT},\text{TH},\text{TT}}. De gebeurtenis “ten minste één kop komt voor” zou de verzameling \{text{HH},\text{HT},\text{TH}} zijn. Als de munt een normale munt was, zouden we aan elke uitkomst een kans van 1/4 toekennen.

In de kansrekening wordt de kans \text{P} op een bepaalde gebeurtenis \text{E}, aangeduid met \text{P}(\text{E}}(\text{E}}(\text{E}}(\text{E})rechts), meestal zo gedefinieerd dat \text{P} voldoet aan een aantal axioma’s, of regels. De meest elementaire en belangrijkste regels staan hieronder opgesomd.

Berekenbaarheidsregels

Berekenbaarheid is een getal. Het is altijd groter dan of gelijk aan nul, en kleiner dan of gelijk aan één. Dit kan geschreven worden als 0. Een onmogelijke gebeurtenis, of een gebeurtenis die nooit optreedt, heeft een kans van 0. Een gebeurtenis die altijd optreedt heeft een kans van 1. Een gebeurtenis met een kans van 0,5 zal de helft van de tijd optreden.

De som van de kansen van alle mogelijkheden moet gelijk zijn aan 1. Bij elke proef moet een uitkomst voorkomen, en de som van alle kansen is 100%, of in dit geval, 1. Dit kan worden geschreven als \text{P}links(\text{S}rechts)=1, waarbij \text{S} de hele steekproefruimte voorstelt.

Als twee gebeurtenissen geen uitkomsten gemeen hebben, is de kans dat de een of de ander optreedt de som van hun afzonderlijke kansen. Als de ene gebeurtenis in 30% van de proeven voorkomt, een andere gebeurtenis in 20% van de proeven, en de twee kunnen niet samen voorkomen (als ze disjoint zijn), dan is de kans dat de een of de ander optreedt 30%+20%=50%. Dit wordt ook wel de optelregel genoemd, en kan worden vereenvoudigd met het volgende: \text{P}left({\text{A}} \text{ of} {\text{ B}}}}left(\text{A}}left)+\text{P}left(\text{B}left)=\text{P}left(\text{A}}left)+\text{P}left(\text{B}left(\text{B}left)). Het woord “of” betekent in de wiskunde hetzelfde als de vereniging, die het volgende symbool gebruikt: \Of. Als \text{A} en \text{B} niet samenvallen, geldt dus \text{P}left(\text{A}}left(\text{B}}left)= \text{P}left(\text{A}left(\text{A}left)+ \text{P}left(\text{B}left(\text{B}left(\text{B}left)). De kans dat een gebeurtenis niet optreedt is 1 min de kans dat de gebeurtenis wel optreedt. Als een gebeurtenis in 60% van alle proeven optreedt, komt hij in de andere 40% niet voor, want 100%-60%=40%. De kans dat een gebeurtenis optreedt en de kans dat hij niet optreedt, zijn altijd opgeteld 100%, of 1. Deze gebeurtenissen worden complementaire gebeurtenissen genoemd, en deze regel wordt soms de complementregel genoemd. Hij kan vereenvoudigd worden met \text{P}links(\text{A}^text{c}rechts)=1-\text{P}links(\text{A}rechts), waarbij \text{A}^text{c} het complement is van \text{A}.

Twee gebeurtenissen \text{A} en \text{B} zijn onafhankelijk als de wetenschap dat de een optreedt niets verandert aan de kans dat de ander optreedt. Dit wordt vaak de vermenigvuldigingsregel genoemd. Als \text{A} en \text{B} onafhankelijk zijn, dan is \text{P}\left(\text{A} en} \text{ B} rechts)= \text{P}\left(\text{A} rechts)\text{P}\left(\text{B} rechts)= \text{P}} links(\text{A} rechts)= \text{B} rechts). Het woord “en” betekent in de wiskunde hetzelfde als het snijpunt, waarvoor het volgende symbool wordt gebruikt: \. Als \text{A} en \text{B} onafhankelijk zijn, geldt dus \text{P}}left(\text{A}}cap{text{B}}right)= \text{P}left(\text{A}right)\text{P}left(\text{B}right).

Uitbreiding van het voorbeeld

Uitbreidend op ons voorbeeld hierboven van het opgooien van twee munten, kennen we de kans 1/4 toe aan elk van de 4 uitkomsten. We beschouwen elk van de vijf bovenstaande regels in de context van dit voorbeeld.

1. Merk op dat elke kans 1/4 is, wat tussen 0 en 1 ligt.

2. Merk op dat de som van alle kansen 1 is, omdat \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1.

3. Stel dat \text{A} het geval is dat er precies één kop voorkomt, en B het geval is dat er precies twee staarten voorkomen. Dan zijn \text{A}={HT},\text{TH}} en \text{B}={TT}} disjunct. Ook is \text{P}}left(\text{A}}left(\text{B}}left)=\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\text{P}left(\text{A}}left)+\text{P}left(\text{B}left).

4. De kans dat er geen kop voorkomt is 1/4, dat is gelijk aan 1-3/4. Dus als \text{A}=het geval is dat er een kop voorkomt, dan geldt \text{P}linker(\text{A}^text{c}rechts)={frac{1}{4}=1-{frac{3}{4}=1-\text{P}linker(\text{A}rechts).

5. Als \text{A} de gebeurtenis is dat de eerste flip kop is en \text{B} de gebeurtenis dat de tweede flip kop is, dan zijn \text{A} en \text{B} onafhankelijk. We hebben dan \text{A}={\text{HT},\text{HH}} en \text{B}={\text{TH},\text{HH}} en \text{A}}{cap{text{B}}={\text{HH}}. Note that \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right).

Conditionele waarschijnlijkheid

De conditionele waarschijnlijkheid van een gebeurtenis is de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis zich voordoet, gegeven dat een andere gebeurtenis zich heeft voorgedaan.

Kans van B Gegeven Dat A Heeft plaatsgevonden

Onze schatting van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis kan veranderen als we weten dat een andere gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Bijvoorbeeld, de kans dat een gegooide dobbelsteen een 2 oplevert is 1/6 zonder enige andere informatie, maar als iemand naar de dobbelsteen kijkt en je vertelt dat het een even getal is, dan is de kans nu 1/3 dat het een 2 is. De notatie \text{P}(\text{B}(\text{A}}(\text{B}(\mid{A}(rechts)) geeft een voorwaardelijke kans aan, wat betekent dat het de kans op een gebeurtenis aangeeft onder de voorwaarde dat we weten dat een andere gebeurtenis heeft plaatsgevonden. De balk “\mid” kan gelezen worden als “gegeven”, zodat \text{P} links(\text{B}\mid{A}} rechts) gelezen kan worden als “de kans op \text{B} gegeven dat \text{A}} heeft plaatsgevonden”.

De voorwaardelijke kans \text{P} links(\text{B}}mid{text{A}} rechts) van een gebeurtenis \text{B}, gegeven een gebeurtenis \text{A}, wordt gedefinieerd door:

\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{A}\right)}

Wanneer \text{P}left(\text{A}}right)>0. Denk aan de verschillende rollen van B en A in deze formule. De verzameling na de streep is de verzameling waarvan we aannemen dat die zich heeft voorgedaan, en de kans daarop komt voor in de noemer van de formule.

Onafhankelijkheid

De voorwaardelijke kans \text{B}}links(\text{A}}rechts) is niet altijd gelijk aan de onvoorwaardelijke kans \text{P}}links(\text{B}}rechts). De reden hiervoor is dat het optreden van gebeurtenis \text{A} extra informatie kan opleveren die de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis \text{B} optreedt kan veranderen. Als de kennis dat gebeurtenis \text{A} optreedt de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis \text{B} optreedt niet verandert, dan zijn \text{A} en \text{B} onafhankelijke gebeurtenissen, en dus is \text{P}(\text{B}}(\text{A}}rechts)= \text{P}(\text{B}}rechts).

De stelling van Bayes

In de waarschijnlijkheidsleer en de statistiek is de stelling van Bayes (ook wel de wet van Bayes of de regel van Bayes genoemd) een resultaat dat van belang is bij de wiskundige manipulatie van voorwaardelijke waarschijnlijkheden. Het kan worden afgeleid uit de basisaxioma’s van kansberekening.

Mathematisch geeft de stelling van Bayes het verband tussen de kansen van \text{A} en \text{B}, \text{P}link(\text{A}rechts) en \text{P}links(\text{B}rechts), en de conditionele kansen van \text{A} gegeven \text{B} en \text{B} gegeven \text{A}. In zijn meest voorkomende vorm is dat:

\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}

Dit is misschien makkelijker te onthouden in deze alternatieve symmetrische vorm:

\frac{\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)}=\frac{\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}

Eenheden en snijpunten

Eenheden en snijpunten zijn twee sleutelbegrippen in de verzamelingenleer en de kansrekening.

Kansberekening gebruikt de wiskundige ideeën van sets, zoals we hebben gezien in de definitie van zowel de steekproefruimte van een experiment als in de definitie van een gebeurtenis. Om basisberekeningen van kansberekeningen te kunnen uitvoeren, moeten we de ideeën uit de verzamelingenleer met betrekking tot de operaties vereniging, doorsnijding en complement opnieuw bekijken.

EENVANG

De vereniging van twee of meer verzamelingen is de verzameling die alle elementen van elk van de verzamelingen bevat; een element zit in de vereniging als het tot ten minste een van de verzamelingen behoort. Het symbool voor de vereniging is \kom, en is verbonden met het woord “of”, omdat \text{A} de verzameling is van alle elementen die in \text{A} of \text{B}} zitten. Om de vereniging van twee verzamelingen te vinden, maak je een lijst van de elementen die in een van beide (of beide) verzamelingen zitten. In een Venn-diagram kan de vereniging van de verzamelingen A en B worden weergegeven als twee volledig gearceerde cirkels die in elkaar grijpen.

In symbolen, omdat de unie van \text{A} en \text{B} alle punten bevat die in \text{A} of in \text{B} of in allebei liggen, is de definitie van de unie:

\text{A}\cup{\text{B}}=\{\text{x}:\text{x}\in{\text{A}} \of } \text{x}{in{\text{B}}

Bijv. als \text{A}={1,3,5,7}} en \text{B}={1,2,4,6}} , dan is \text{A}={1,2,3,4,5,6,7}. Merk op dat het element 1 niet tweemaal in de unie voorkomt, ook al komt het in beide verzamelingen voor. Dit leidt ons tot de algemene optelregel voor de vereniging van twee gebeurtenissen:

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)−\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)

Waarbij \text{P}}left(\text{A}}cap{text{B}}}right) het snijpunt van de twee verzamelingen is. We moeten dit aftrekken om dubbeltelling van de inclusie van een element te voorkomen.

Als de verzamelingen \text{A} en \text{B} echter disjunct zijn, dan heeft de gebeurtenis \text{A}{cap{text{B}} geen uitkomsten in zich, en is een lege verzameling, aangeduid als ∅, die een kans van nul heeft. De bovenstaande regel kan dus worden ingekort voor alleen disjuncte verzamelingen:

text{P}}left(\text{A}cap{text{B}}right)=\text{P}left(\text{A}right)+\text{P}left(\text{B}right)

Dit kan zelfs worden uitgebreid naar meer verzamelingen als ze allemaal disjunct zijn:

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\cup{\text{C}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)+\text{P}\left(\text{C}\right)

Snijpunt

Het snijpunt van twee of meer verzamelingen is de verzameling van elementen die gemeenschappelijk zijn aan elk van de verzamelingen. Een element ligt in de doorsnede als het tot alle verzamelingen behoort. Het symbool voor doorsnede is \cap, en wordt geassocieerd met het woord “en”, want \text{A}\cap{\text{B}} is de verzameling van elementen die tegelijkertijd in \text{A} en in \text{B}} zitten. Om het snijpunt van twee (of meer) verzamelingen te vinden, neemt u alleen de elementen op die in beide (of alle) verzamelingen voorkomen. In termen van een Venn-diagram kan het snijpunt van twee verzamelingen \text{A} en \text{B} worden weergegeven in het gearceerde gebied in het midden van twee in elkaar grijpende cirkels .

In wiskundige notatie wordt het snijpunt van \text{A}} en \text{B}} geschreven als \text{A}}{cap{text{B}}=:\text{x}:\text{x}{in{\text{A}} en \text{x}}{in{\text{B}}}. Bijvoorbeeld, als \text{A}={1,3,5,7}} en \text{B}={1,2,4,6}}, dan is \text{A}}{cap{text{B}}={1}} omdat 1 het enige element is dat in beide verzamelingen \text{A} en \text{B}} voorkomt.

Wanneer gebeurtenissen onafhankelijk zijn, dat wil zeggen dat de uitkomst van de ene gebeurtenis geen invloed heeft op de uitkomst van een andere gebeurtenis, dan kunnen we de vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke gebeurtenissen gebruiken, die luidt:

Links(\text{A}}rechts)=links(\text{A}}rechts)\text{P}links(\text{B}}rechts)

Voorbeeld, stel dat we twee keer een munt opgooien, en we willen weten hoe groot de kans is dat we twee keer kop gooien. Omdat de eerste worp geen invloed heeft op de tweede, zijn de gebeurtenissen onafhankelijk. Stel dat de eerste worp kop is en de tweede worp kop, dan is \text{P}links(\text{A}}}}rechts)={frac{1}{2}\cdotfrac{1}{2}={frac{1}{4}.

Complementaire gebeurtenissen

Het complement van \text{A} is de gebeurtenis waarin \text{A} niet voorkomt.

Wat zijn Complementaire Gebeurtenissen?

In de waarschijnlijkheidstheorie is het complement van een gebeurtenis \text{A} de gebeurtenis , d.w.z. de gebeurtenis waarin \text{A} niet optreedt. De gebeurtenis {A} en zijn complement zijn wederzijds exclusief en uitputtend, dat wil zeggen dat als de ene optreedt, de andere niet optreedt, en dat beide groepen alle mogelijkheden omvatten. In het algemeen is er slechts één gebeurtenis \text{B} zodanig dat \text{A} en \text{B} beide wederzijds exclusief en exhaustief zijn; die gebeurtenis is het complement van \text{A}. Het complement van een gebeurtenis \text{A} wordt gewoonlijk aangeduid als \text{A}′, \text{A}^c of \bar{\text{A}}.