Euclides, ter illustratie van de meetkunde in “De School van Athene”, door Raffaello Sanzio (Publiek domein)

Voor het meten van grenzen en het oprichten van gebouwen moet de mens beschikken over een ingebouwd mechanisme en instinct voor het beoordelen van afstanden, hoeken en hoogten. Naarmate de beschavingen zich ontwikkelden, werden deze instincten aangevuld met waarnemingen en procedures op basis van ervaring, experimenten en intuïtie. De Babyloniërs waren zeker bekwame meetkundigen, en de Egyptenaren ontwikkelden een rijke en complexe wiskunde gebaseerd op landmetingen. Deze beide culturen zouden hun informatie doorgeven aan de Grieken.

Het begin van de Griekse meetkunde

De Egyptenaren en de Babyloniërs waren niet echt geïnteresseerd in het vinden van axioma’s en onderliggende principes voor geometrie. Hun benadering was zeer pragmatisch en gericht op praktische toepassingen. De Babyloniërs gingen er bijvoorbeeld van uit dat Pi precies 3 was, en zagen geen reden om dit te veranderen. De Egyptische wiskundigen hadden geen structuur in hun meetkunde, slechts een verzameling regels en oplossingen gericht op specifieke omstandigheden, zoals het berekenen van het volume van een afgeknotte piramide. Zij gebruikten toen ook trigonometrie, in ontwikkeling van een subset van de meetkunde, voor landmetingen en voor het meten van de afmetingen van piramiden.

Deze culturen leken geen deductief redeneren te gebruiken om meetkundige technieken uit eerste beginselen te ontdekken. In plaats daarvan gebruikten zij trial and error en als een oplossing niet direct voorhanden was, gebruikten zij trial and error om tot een benadering te komen. Deze culturen legden echter de grondslagen van de Griekse meetkunde en beïnvloedden de Grieken, die een deductieve methodologie op de meetkunde zouden toepassen, in een poging om elegante regels te vinden die het veld onderbouwden.

Eeuwen Griekse Geometrie

Thales van Miletus (Public Domain)

De vroege geschiedenis van de Griekse geometrie is onduidelijk, omdat er geen originele informatiebronnen zijn overgebleven en al onze kennis afkomstig is van secundaire bronnen die vele jaren na de vroege periode zijn geschreven. We kunnen echter toch een behoorlijk overzicht zien en ook beginnen te kijken naar enkele van de grote namen, de Griekse wiskundigen die de loop van de Griekse meetkunde zouden bepalen.

De eerste, en een van de grootste namen, is Thales van Miletus, een wiskundige die leefde in de 6e eeuw voor Christus. Hij wordt beschouwd als de vader van de geometrie en begon het proces van deductie vanuit eerste beginselen. Men gelooft dat hij naar Egypte en Babylon reisde en meetkundige technieken oppikte van deze culturen, en hij zou zeker toegang hebben gehad tot hun werk.

Thales geloofde sterk dat redeneren belangrijker was dan experimenteren en intuïtie, en begon te zoeken naar solide principes waarop hij stellingen kon bouwen. Dit introduceerde het idee van bewijzen in de meetkunde en hij stelde enkele axioma’s voor die hij als wiskundige waarheden beschouwde.

• Een cirkel wordt doorgesneden door een van zijn diameters
• De basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk
• Wanneer twee rechte lijnen elkaar kruisen, zijn de tegenover elkaar liggende hoeken gelijk
• Een hoek getekend in een halvecirkel is een rechte hoek
• Twee driehoeken met één gelijke zijde en twee gelijke hoeken zijn congruent

Thales wordt gecrediteerd voor het bedenken van een methode om de hoogte van een schip op zee te bepalen, een techniek die hij gebruikte om de hoogte van een piramide te meten, tot groot genoegen van de Egyptenaren. Daarvoor moest hij de proportie begrijpen en mogelijk ook de regels voor gelijkvormige driehoeken, een van de grondslagen van de trigonometrie en de meetkunde.

Het is onduidelijk hoe Thales precies besloot dat bovenstaande axioma’s onweerlegbare bewijzen waren, maar ze werden opgenomen in het corpus van de Griekse wiskunde en de invloed van Thales zou talloze generaties wiskundigen beïnvloeden.

Pythagoras

Pythagoras (Publiek Domein)

De beroemdste naam tijdens de ontwikkeling van de Griekse meetkunde is waarschijnlijk Pythagoras, al was het maar voor de beroemde wet over rechthoekige driehoeken. Deze wiskundige leefde in een geheim genootschap dat een semi-religieuze missie aannam. Hieruit ontwikkelden de Pythagoreeërs een aantal ideeën en begonnen zij met de ontwikkeling van de goniometrie. De Pythagoreeërs voegden een aantal nieuwe axioma’s toe aan de voorraad meetkundige kennis.

• De som van de binnenhoeken van een driehoek is gelijk aan twee rechte hoeken *(180o).
• De som van de buitenhoeken van een driehoek is gelijk aan vier rechte hoeken (360o).
• De som van de binnenhoeken van een veelhoek is gelijk aan 2n-4 rechte hoeken, waarbij n het aantal zijden is.
• De som van de buitenhoeken van een veelhoek is gelijk aan vier rechte hoeken, hoeveel zijden er ook zijn.
• De drie veelhoeken, de driehoek, zeshoek en vierkant vullen de ruimte rond een punt op een vlak volledig – zes driehoeken, vier vierkanten en drie zeshoeken. Met andere woorden, je kunt een gebied betegelen met deze drie vormen, zonder dat er gaten vallen of overlappingen zijn.
• Voor een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de andere twee zijden.

De meeste van deze regels zijn bij de meeste leerlingen direct bekend, als basisprincipes van de meetkunde en de goniometrie. Een van zijn leerlingen, Hippocrates, ging verder in de ontwikkeling van de geometrie. Hij was de eerste die meetkundige technieken begon te gebruiken in andere gebieden van de wiskunde, zoals het oplossen van kwadratische vergelijkingen, en hij begon zelfs het proces van integratie te bestuderen. Hij bestudeerde het probleem van de kwadratuur van de cirkel (waarvan we nu weten dat het onmogelijk is, eenvoudigweg omdat Pi een irrationeel getal is). Hij loste het probleem van “Squaring a Lune” op en toonde aan dat de verhouding van de oppervlakten van twee cirkels gelijk was aan de verhouding tussen de kwadraten van de stralen van de cirkels.

Euclides

Euclides meende dat alle wiskundige uitspraken bewezen moesten worden (Euclides’ Elementen)

Naast Pythagoras is Euclides een zeer bekende naam in de geschiedenis van de Griekse meetkunde. Hij verzamelde het werk van alle vroegere wiskundigen en creëerde zijn baanbrekende werk, ‘De Elementen’, ongetwijfeld een van de meest gepubliceerde boeken aller tijden. In dit werk zette Euclides de aanpak uiteen voor de meetkunde en de zuivere wiskunde in het algemeen, door voor te stellen dat alle wiskundige beweringen bewezen moesten worden door middel van redeneringen en dat er geen empirische metingen nodig waren. Dit idee van bewijzen domineert nog steeds de zuivere wiskunde in de moderne wereld.

Archimedes

Archimedes was een groot wiskundige en was een meester in het visualiseren en manipuleren van de ruimte. Hij perfectioneerde de methoden van integratie en bedacht formules om de oppervlakte van vele vormen en de volumes van vele vaste stoffen te berekenen. Hij gebruikte vaak de methode van uitputting om formules te ontdekken. Hij vond bijvoorbeeld een manier om de oppervlakte van een parabolische kromme wiskundig te berekenen; hij berekende de waarde van Pi nauwkeuriger dan enige andere wiskundige; en hij bewees dat de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan Pi vermenigvuldigd met het kwadraat van de straal. Hij toonde ook aan dat het volume van een bol tweederde is van het volume van een cilinder met dezelfde hoogte en straal. Deze laatste ontdekking werd in zijn grafsteen gegraveerd.

Apollonius van Perga (262 – 190 BCE)

Appolonius van Pergia (Publiek Domein)

Apollonius was een wiskundige en astronoom, en hij schreef een verhandeling genaamd ‘Conische secties.’ Apollonius is de uitvinder van de woorden ellips, parabool en hyperbool, en wordt vaak de Grote Geometer genoemd. Hij schreef ook uitvoerig over de ideeën van raaklijnen aan krommen, en zijn werk over kegelsneden en parabolen zou de latere Islamitische geleerden en hun werk over optica beïnvloeden.

Griekse meetkunde en haar invloed

Griekse meetkunde kwam uiteindelijk in handen van de grote islamitische geleerden, die het vertaalden en aanvulden. In deze studie van de Griekse meetkunde waren er nog veel meer Griekse wiskundigen en meetkundigen die hebben bijgedragen aan de geschiedenis van de meetkunde, maar deze namen zijn de echte reuzen, degenen die de meetkunde hebben ontwikkeld zoals wij die nu kennen.