In de wiskunde is een helix een kromme in de 3-dimensionale ruimte. De volgende parametrisering in cartesische coördinaten definieert een bepaalde helix; misschien is de eenvoudigste vergelijking voor een helix
x ( t ) = cos ( t ) , {displaystyle x(t)= cos(t),\,}
y ( t ) = sin ( t ) , {{displaystyle y(t)=(t),sin(t),}
z ( t ) = t .
Als de parameter t toeneemt, tekent het punt (x(t),y(t),z(t)) een rechtshandige helix met steek 2π (of helling 1) en straal 1 om de z-as, in een rechtshandig coördinatensysteem.
In cilindrische coördinaten (r, θ, h) wordt dezelfde helix geparametriseerd door:
r ( t ) = 1 , {\displaystyle r(t)=1,}
θ ( t ) = t , {div>
Een cirkelvormige helix met straal a en helling b/a (of steek 2πb) wordt beschreven door de volgende parametrisering:
x ( t ) = a cos ( t ) , {displaystyle x(t)=a\cos(t),\,}
y ( t ) = a sin ( t ) , {\displaystyle y(t)=a\sin(t),\,}
z ( t ) = b t .
Een andere manier om een helix wiskundig te construeren is door de complexe functie exi uit te zetten als functie van het reële getal x (zie formule van Euler).De waarde van x en de reële en imaginaire delen van de functiewaarde geven deze plot drie reële dimensies.
Behoudens rotaties, translaties en schaalveranderingen zijn alle rechtshandige schroeflijnen gelijkwaardig aan de helix hierboven gedefinieerd. De equivalente linkshandige helix kan op een aantal manieren worden geconstrueerd, waarvan de eenvoudigste is om een van de x-, y- of z-componenten te negeren.
Booglengte, kromming en torsieEdit
De lengte van een cirkelhelix met straal a en helling b/a (of steek 2πb) uitgedrukt in rechthoekige coördinaten als
t ↦ ( a cos t , a sin t , b t ) , t ∈ {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}},t},t}}
equals T ⋅ a 2 + b 2 {{displaystyle T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
, de kromming is | a | a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}
en de torsie is b a 2 + b 2 . {\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}
Een helix heeft een constante niet nul kromming en torsie.
Een helix is de vectorgewaardeerde functie
r = a cos t i + a sin t j + b t k {\displaystyle \mathbf {r} =a\cos t\mathbf {i} + a sin t {mathbf {j} + b t t\mathbf {k} }
v = – a sin t i + a cos t j + b k {\displaystyle \mathbf {v} =-a\sin t\mathbf {i} + a cos t {mathbf {j} +b }
a = – a cos t i – a sin t j + 0 k {Displaystyle \mathbf {a} =-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0 }
v | = ( – a sin t ) 2 + ( a cos t ) 2 + b 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle |mathbf {v} |= {(-a sin t)^{2}+(acos t)^{2}+b^{2}}= {{{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
| a | = ( – a sin t ) 2 + ( a cos t ) 2 = a {{\displaystyle |\mathbf {a}} |={(-a sin t)^{2}+(acos t)^{2}}=a}
s ( t ) = ∫ 0 t a 2 + b 2 d τ = a 2 + b 2 t {\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}t}
Een helix kan dus worden geherametriseerd als een functie van s {{\displaystyle s}}
, die een eenheidssnelheid moet zijn:
r ( s ) = a cos s a 2 + b 2 i + a sin s a 2 + b 2 j + b s a 2 + b 2 k {\displaystyle \mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i}} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}mathbf {k}}} }
De eenheids-raakvector is
d r d s = T = – a a 2 + b 2 sin s a 2 + b 2 i + a 2 + b 2 cos s a 2 + b 2 j + b a 2 + b 2 k {Displaystyle {\frac {d\mathbf {r}} {ds}}= {mathbf {T} = {\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}{mathbf {i}}} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}mathbf {j} + {{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}95}mathbf {k}}} }
De normaalvector is
d T d s = κ N = – a a 2 + b 2 cos s a 2 + b 2 i + – a a 2 + b 2 sin s a 2 + b 2 j + 0 k {\displaystyle {\frac {d\mathbf {T}} }{ds}}={\kappa {mathbf {N}} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i}} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}}}}}}}}}}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}}}}}}}}}}}} +0} }
De kromming is | d T d s | = κ = | a | a 2 + b 2 {\displaystyle {\bigg |}{\frac {d\mathbf {T}} {{ds}}{\bigg |}={\kappa ={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}
.
De eenheidsnormaalvector is
N = – cos s a 2 + b 2 i – sin s a 2 + b 2 j + 0 k {\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} – sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0} }
De binormale vector is
B = T × N = 1 a 2 + b 2 {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \maal \mathbf {N} ={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\bigg }}
