Biografie

De volledige naam van Omar Khayyam was Ghiyath al-Din Abu’l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami. Een letterlijke vertaling van de naam al-Khayyami (of al-Khayyam) betekent “tentenmaker” en dit was wellicht het beroep van Ibrahim zijn vader. Khayyam speelde met de betekenis van zijn eigen naam toen hij schreef:-

Khayyam, die de tenten van de wetenschap naaide,
Hij is in de oven van verdriet gevallen en plotseling verbrand,
De schaar van het Noodlot heeft de touwen van zijn leven doorgesneden,
En de makelaar van de Hoop heeft hem voor niets verkocht!

De politieke gebeurtenissen in de 11e eeuw speelden een grote rol in de loop van Khayyams leven. De Seltsjoeken waren stammen die in de 11e eeuw Zuidwest-Azië binnenvielen en uiteindelijk een rijk stichtten dat Mesopotamië, Syrië, Palestina en het grootste deel van Iran omvatte. De Seltsjoeken bezetten de weidegronden van Khorasan en veroverden vervolgens, tussen 1038 en 1040, geheel Noordoost-Iran. De Seltsjoekse heerser Toghrïl Beg riep zichzelf in 1038 uit tot sultan in Nishapur en trok in 1055 Bagdad binnen. Het was in dit moeilijke onstabiele militaire rijk, dat ook religieuze problemen had omdat het probeerde een orthodoxe moslimstaat te vestigen, dat Khayyam opgroeide.
Khayyam studeerde filosofie in Naishapur en een van zijn medestudenten schreef dat hij:-

…. begiftigd met een scherp verstand en de hoogste natuurlijke vermogens …

Het was echter geen rijk waarin geleerden, zelfs die zo geleerd waren als Khayyam, het gemakkelijk hadden, tenzij zij de steun hadden van een heerser aan één van de vele hoven. Zelfs een dergelijk beschermheerschap zou niet al te veel stabiliteit verschaffen, aangezien de plaatselijke politiek en het wel en wee van het plaatselijke militaire regime beslisten wie op een bepaald moment de macht in handen had. Khayyam zelf beschreef de moeilijkheden voor de geleerden in deze periode in de inleiding van zijn Verhandeling over de demonstratie van algebraproblemen (zie bijvoorbeeld ):-

Ik was niet in staat mij te wijden aan het leren van deze algebra en de voortdurende concentratie daarop, vanwege hindernissen in de grillen van de tijd die mij belemmerden; want wij zijn beroofd van alle mensen van kennis, behalve van een groep, klein in aantal, met veel moeilijkheden, wier zorg in het leven is de gelegenheid te grijpen, wanneer de tijd slaapt, om zich intussen te wijden aan het onderzoek en de vervolmaking van een wetenschap; Want het merendeel der mensen, die de wijsgeren imiteren, verwart het ware met het valse, en zij doen niets dan bedriegen en kennis veinzen, en wat zij van de wetenschappen weten, gebruiken zij niet dan voor onedele en stoffelijke doeleinden; en als zij een zeker persoon zien, die het juiste zoekt en de waarheid verkiest, die zijn best doet om het valse en onware te weerleggen en die huichelarij en bedrog terzijde laat, maken zij hem belachelijk en bespotten hem.

Hoewel Khayyam een voortreffelijk wiskundige en astronoom was en, ondanks de moeilijkheden die hij in dit citaat beschrijft, schreef hij verscheidene werken waaronder Problemen van de Rekenkunde, een boek over muziek en een over algebra voordat hij 25 jaar oud was. In 1070 verhuisde hij naar Samarkand in Oezbekistan, een van de oudste steden van Centraal-Azië. Daar werd Khayyam gesteund door Abu Tahir, een vooraanstaand jurist van Samarkand, en dit stelde hem in staat zijn beroemdste algebra-werk te schrijven, Verhandeling over Demonstratie van Problemen van Algebra, waaruit wij het bovenstaande citaat gaven. De wiskundige inhoud van dit werk zullen wij later in deze biografie beschrijven.
Toghril Beg, de stichter van de Seltsjoek-dynastie, had Isfahan tot hoofdstad van zijn domeinen gemaakt en zijn kleinzoon Malik-Shah was vanaf 1073 de heerser van die stad. Malik-Shah en zijn vizier Nizam al-Mulk zonden Khayyam een uitnodiging om naar Isfahan te gaan en daar een observatorium op te richten. Ook andere vooraanstaande astronomen werden naar het observatorium in Isfahan gehaald en gedurende 18 jaar gaf Khayyam leiding aan de wetenschappers en produceerde hij werk van uitstekende kwaliteit. Het was een periode van vrede waarin de politieke situatie Khayyam de gelegenheid gaf zich geheel aan zijn wetenschappelijk werk te wijden.
Tijdens deze periode leidde Khayyam het werk aan het samenstellen van astronomische tabellen en droeg hij ook bij aan de kalenderhervorming in 1079. Cowell citeert The Calcutta Review No 59:-

Toen de Malik Shah besloot de kalender te hervormen, was Omar een van de acht geleerde mannen die daarvoor werden ingezet, het resultaat was de Jalali-tijdrekening (zo genoemd naar Jalal-ud-din, een van de namen van de koning) – ‘een berekening van de tijd,’ zegt Gibbon, ‘die de Juliaanse overtreft, en de nauwkeurigheid van de Gregoriaanse stijl benadert.

Khayyam mat de lengte van het jaar op als 365,24219858156 dagen. Twee opmerkingen over dit resultaat. Ten eerste getuigt het van een ongelooflijk zelfvertrouwen om te proberen het resultaat met deze mate van nauwkeurigheid te geven. Wij weten nu dat de lengte van het jaar in de loop van het leven van een mens tot op zes decimalen nauwkeurig verandert. Ten tweede is het buitengewoon nauwkeurig. Ter vergelijking: de lengte van het jaar aan het eind van de 19e eeuw was 365,242196 dagen, terwijl het nu 365,242190 dagen is.
In 1092 maakten politieke gebeurtenissen een einde aan Khayyams periode van vredig bestaan. Malik-Shah stierf in november van dat jaar, een maand nadat zijn vizier Nizam al-Mulk op de weg van Isfahan naar Bagdad was vermoord door de terroristische beweging die de Moordenaars werden genoemd. Malik-Shah’s tweede vrouw nam gedurende twee jaar het bewind over, maar zij had ruzie gehad met Nizam al-Mulk, zodat nu degenen die hij had gesteund, die steun zagen wegvallen. De financiering van het Observatorium werd stopgezet en Khayyam’s kalenderhervorming werd opgeschort. Khayyam kwam ook onder vuur te liggen van de orthodoxe Moslims die vonden dat Khayyam’s vragende geest niet met het geloof overeenstemde. Hij schreef in zijn gedicht de Rubaiyat :-

De afgoden die ik zo lang heb liefgehad
Hebben mijn krediet in de ogen van de mensen veel kwaad gedaan:
Hebben mijn eer verdronken in een ondiepe beker,
En mijn reputatie verkocht voor een lied.

Hoewel Khayyam van alle kanten uit de gratie was, bleef hij aan het Hof en probeerde in de gratie te komen. Hij schreef een werk waarin hij vroegere heersers in Iran beschreef als mannen van grote eer die openbare werken, wetenschap en geleerdheid hadden gesteund.
Malik-Shah’s derde zoon Sanjar, die gouverneur van Khorasan was, werd in 1118 de algemene heerser van het Seltsjoekse rijk. Enige tijd daarna verliet Khayyam Isfahan en reisde naar Merv (nu Mary, Turkmenistan), dat Sanjar tot hoofdstad van het Seltsjoekse rijk had gemaakt. Sanjar creëerde in Merv een groot centrum van islamitische geleerdheid, waar Khayyam verdere werken over wiskunde schreef.
Het werk van Khayyam is een vroeg werk over algebra, geschreven vóór zijn beroemde algebra-tekst. Hierin behandelt hij het probleem:-

Vind een punt op een kwadrant van een cirkel op zodanige wijze dat wanneer een normaal wordt neergelaten vanuit het punt naar een van de begrenzende stralen, de verhouding van de lengte van de normaal tot die van de straal gelijk is aan de verhouding van de segmenten bepaald door de voet van de normaal.

Khayyam laat zien dat dit probleem gelijkwaardig is aan het oplossen van een tweede probleem:-

Vind een rechthoekige driehoek met de eigenschap dat de schuine zijde gelijk is aan de som van één been plus de hoogte op de schuine zijde.

Dit probleem leidde er weer toe dat Khayyam de kubische vergelijking x3+200x=20×2+2000x^{3} + 200x = 20x^{2} + 2000×3+200x=20×2+2000 en hij vond een positieve wortel van deze kubiek door het snijpunt van een rechthoekige hyperbool en een cirkel te beschouwen. Een benaderende numerieke oplossing werd vervolgens gevonden door interpolatie in goniometrische tabellen. Wellicht nog opmerkelijker is het feit dat Khayyam verklaart dat de oplossing van deze kubiek het gebruik van kegelsneden vereist en dat zij niet kan worden opgelost met passer en liniaal, een resultaat dat pas over 750 jaar zou worden bewezen. Khayyam schreef ook dat hij hoopte in een later werk een volledige beschrijving te kunnen geven van de oplossing van kubische vergelijkingen :-

Als de gelegenheid zich voordoet en ik kan slagen, zal ik al deze veertien vormen geven met al hun vertakkingen en gevallen, en hoe te onderscheiden wat mogelijk of onmogelijk is, zodat een werkstuk, dat elementen bevat die zeer nuttig zijn in deze kunst, zal worden opgesteld.

Inderdaad heeft Khayyam een dergelijk werk vervaardigd, de Verhandeling over de Demonstratie van Algebra-problemen, die een volledige classificatie bevatte van kubische vergelijkingen met meetkundige oplossingen gevonden door middel van snijdende kegelsneden. Khayyam geeft in feite een interessant historisch verslag waarin hij beweert dat de Grieken niets hadden nagelaten over de theorie van kubische vergelijkingen. Inderdaad, zoals Khayyam schrijft, de bijdragen van vroegere schrijvers zoals al-Mahani en al-Khazin waren om geometrische problemen te vertalen in algebraïsche vergelijkingen (iets wat in wezen onmogelijk was vóór het werk van al-Khwarizmi). Khayyam zelf schijnt echter de eerste te zijn geweest die een algemene theorie van kubische vergelijkingen heeft bedacht. Khayyam schreef (zie bijvoorbeeld of ):-

In de wetenschap van de algebra komt men problemen tegen die afhankelijk zijn van bepaalde soorten uiterst moeilijke voorafgaande stellingen, waarvan de oplossing niet succesvol was voor de meesten van hen die het probeerden. Wat de Ouden betreft, van hen is geen werk over dit onderwerp tot ons gekomen; misschien waren zij, na naar oplossingen te hebben gezocht en deze te hebben onderzocht, niet in staat hun moeilijkheden te doorgronden; of misschien vereiste hun onderzoek een dergelijk onderzoek niet; of tenslotte zijn hun werken over dit onderwerp, zo zij al bestonden, niet in onze taal vertaald.

Een ander wapenfeit in de algebra-tekst is Khayyams inzicht dat een kubische vergelijking meer dan één oplossing kan hebben. Hij toonde het bestaan aan van vergelijkingen met twee oplossingen, maar helaas schijnt hij niet te hebben ontdekt dat een kubische drie oplossingen kan hebben. Hij hoopte wel dat er ooit “rekenkundige oplossingen” gevonden zouden kunnen worden toen hij schreef (zie bijvoorbeeld ):-

Misschien dat iemand anders die na ons komt het kan ontdekken in het geval, dat er niet alleen de eerste drie klassen van bekende machten zijn, namelijk het getal, het ding en het kwadraat.

De “iemand anders die na ons komt” waren in feite del Ferro, Tartaglia en Ferrari in de 16e eeuw. Ook in zijn algebra-boek verwijst Khayyam naar een ander werk van hem dat nu verloren is gegaan. In het verloren gegane werk bespreekt Khayyam de driehoek van Pascal, maar hij was niet de eerste die dat deed, want al-Karaji besprak de driehoek van Pascal vóór die datum. In feite kunnen we er vrij zeker van zijn dat Khayyam een methode gebruikte om n-de wortels te vinden gebaseerd op de binomiale uitbreiding, en dus op de binomiale coëfficiënten. Dit volgt uit de volgende passage in zijn algebra-boek (zie bijvoorbeeld , of ):-

De Indianen bezitten methoden om de zijden van kwadraten en kubussen te vinden, gebaseerd op dergelijke kennis van de kwadraten van negen figuren, dat wil zeggen het kwadraat van 1, 2, 3, enz. en ook de producten gevormd door ze met elkaar te vermenigvuldigen, d.w.z. de producten van 2, 3, enz. Ik heb een werk samengesteld om de juistheid van deze methoden aan te tonen, en heb bewezen dat zij inderdaad tot het beoogde doel leiden. Ik heb bovendien de soorten uitgebreid, d.w.z. ik heb laten zien hoe men de zijden van het vierkant-vierkant, de quatro-kubus, de kubus-kubus, enz. tot elke lengte kan vinden, hetgeen tot nu toe nog niet is gedaan. De bewijzen die ik bij deze gelegenheid heb gegeven zijn slechts rekenkundige bewijzen, gebaseerd op de rekenkundige delen van Euclides “Elementen”.

In Commentaren op de moeilijke postulaten van Euclides’ boek heeft Khayyam een bijdrage geleverd aan de niet-euclidische meetkunde, hoewel dit niet zijn bedoeling was. Bij zijn poging om het parallellenpostulaat te bewijzen, bewees hij per ongeluk eigenschappen van figuren in niet-euclidische meetkunde. Khayyam gaf in dit boek ook belangrijke resultaten over verhoudingen, waarbij hij het werk van Euclides uitbreidde met de vermenigvuldiging van verhoudingen. Het belang van Khayyam’s bijdrage is dat hij zowel Euclides’ definitie van gelijkheid van verhoudingen (die het eerst door Eudoxus werd voorgesteld) onderzocht als de definitie van gelijkheid van verhoudingen zoals voorgesteld door vroegere Islamitische wiskundigen zoals al-Mahani, die gebaseerd was op voortgezette breuken. Khayyam bewees dat de twee definities gelijkwaardig zijn. Hij stelde ook de vraag of een verhouding als een getal kan worden beschouwd, maar laat de vraag onbeantwoord.
Buiten de wereld van de wiskunde is Khayyam vooral bekend geworden door Edward Fitzgerald’s populaire vertaling in 1859 van bijna 600 korte vierregelige gedichten, de Rubaiyat. Khayyam’s roem als dichter heeft sommigen zijn wetenschappelijke prestaties doen vergeten, die veel omvangrijker waren. Versies van de vormen en verzen die in de Rubaiyat worden gebruikt bestonden reeds in de Perzische literatuur vóór Khayyam, en slechts ongeveer 120 van de verzen kunnen met zekerheid aan hem worden toegeschreven. Van alle verzen is het volgende het bekendst:-

De bewegende vinger schrijft, en als hij geschreven heeft,
gaat hij verder: noch al uw vroomheid, noch uw verstand
zal hem teruglokken om een halve regel te schrappen,
noch al uw tranen zullen er een woord uitwassen.