Set-theorie, tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de eigenschappen van welbepaalde verzamelingen van objecten, die al dan niet van wiskundige aard kunnen zijn, zoals getallen of functies. De theorie is minder waardevol in de directe toepassing op de gewone ervaring dan als basis voor een nauwkeurige en aanpasbare terminologie voor de definitie van complexe en verfijnde wiskundige concepten.

Tussen de jaren 1874 en 1897 creëerde de Duitse wiskundige en logicus Georg Cantor een theorie van abstracte verzamelingen van entiteiten en maakte er een wiskundige discipline van. Deze theorie kwam voort uit zijn onderzoek van enkele concrete problemen betreffende bepaalde soorten oneindige verzamelingen van reële getallen. Een verzameling, zo schreef Cantor, is een verzameling welomlijnde, van elkaar te onderscheiden objecten van waarneming of gedachte, opgevat als een geheel. De objecten worden elementen of leden van de verzameling genoemd.

De theorie had het revolutionaire aspect dat zij oneindige verzamelingen behandelde als wiskundige objecten die op gelijke voet stonden met die welke in een eindig aantal stappen kunnen worden geconstrueerd. Sinds de oudheid hadden de meeste wiskundigen zorgvuldig vermeden om in hun redeneringen het werkelijke oneindige op te nemen (d.w.z. verzamelingen die een oneindigheid aan objecten bevatten die, althans in gedachten, als gelijktijdig bestaand worden opgevat). Omdat deze houding tot bijna het einde van de 19e eeuw standhield, kreeg het werk van Cantor veel kritiek te verduren, omdat het ficties zou zijn – in feite omdat het zich op het terrein van de filosofen begaf en in strijd was met de beginselen van de godsdienst. Toen men echter toepassingen begon te vinden in de analyse, begon de houding te veranderen en tegen de jaren 1890 werden de ideeën en resultaten van Cantor steeds meer aanvaard. Tegen 1900 werd de verzamelingenleer erkend als een aparte tak van de wiskunde.

Op dat moment werden echter verschillende tegenstrijdigheden in de zogenaamde naïeve verzamelingenleer ontdekt. Om dergelijke problemen uit de weg te ruimen, werd een axiomatische basis ontwikkeld voor de theorie der verzamelingen, analoog aan die welke voor de elementaire meetkunde werd ontwikkeld. De mate van succes die in deze ontwikkeling is bereikt, alsmede de huidige statuur van de verzamelingenleer, zijn goed verwoord in de Nicolas Bourbaki Éléments de mathématique (begonnen 1939; “Elementen van de wiskunde”): “Tegenwoordig is het mogelijk, logisch gezien, om praktisch de gehele bekende wiskunde af te leiden uit één enkele bron, de theorie van de verzamelingen.”