Inleiding

De term symbologie wordt gebruikt om een systeem te beschrijven waarin verschillende symbolen of tekens worden gebruikt om informatie weer te geven, of het nu gaat om letters, cijfers, woorden of instructies. De mensheid heeft altijd verschillende symbologieën gebruikt. Er zijn vele voorbeelden: Romeinse cijfers, Egyptische hiërogliefen, braille, morsecode, en in de moderne wereld – streepjescodes en verschillende computercodes. Er is veel gelijkenis tussen symbologie en cryptografie (geheimschrift), maar er is ook een belangrijk verschil. Bij cryptografie is het doel informatie te verbergen voor mensen die daartoe niet bevoegd zijn. Bij symbologie is het doel de informatie op een efficiënte en handige manier weer te geven.

Getallen in de oude wereld

Mensen hebben altijd al dingen moeten tellen. Voordat getallen op de huidige manier werden geschreven, werden andere methoden gebruikt. De eenvoudigste methode was om staven te gebruiken of lijnen te trekken om verschillende hoeveelheden aan te geven. Als een koopman op de markt bijvoorbeeld te maken kreeg met twee groepen wijnvaten, een groep met drie vaten en de andere groep met zes, dan moest hij het totaalbedrag berekenen en werd dat geschreven met behulp van afbeeldingen van staven.

In de loop der tijd ontwikkelden verschillende culturen verschillende symbolen om getallen weer te geven. Reeds 5000 jaar geleden kerfden de oude Egyptenaren hun picturale symbolen, hiëroglyfen, in steen om ideeën over te brengen en om woorden en getallen te schrijven. Elke tekening of symbool had verschillende interpretaties, afhankelijk van de context. Eén betekenis kan eenvoudigweg het voorwerp zijn dat op de tekening is afgebeeld. De tekening krijgt een geheel andere betekenis wanneer zij gecombineerd wordt met een andere. In dat geval zou de combinatie van de twee symbolen de betekenis uitdrukken. Laten we dit principe eens in het Engels demonstreren. Een tekening van een ster zou kunnen betekenen: ster, maar de vorm van een ster samen met een rots, zou ‘rockster’ kunnen betekenen, zoals in ‘Lady Gaga’. Hiërogliefen werden meestal in steen uitgehouwen.

Er waren afbeeldingen voor getallen. Een roede voor het getal één, een ossenriem voor het getal tien, een touwrol voor honderd, een lotusplant voor duizend enzovoort. Hier is een grafiek van hiëroglyfische getallen:

Hoewel positionele notatie reeds duizenden jaren geleden in gebruik was bij de Babyloniërs (met uitzondering van het gebruik van de nul), werd deze niet gebruikt door de Egyptenaren. Zo was het hiërogliefische getal 2 de tekening van twee staven, en het hiërogliefische getal 5072 werd afgebeeld door het graveren van 5 lotusplant, zeven ossenriemen en twee staven. In principe is het niet nodig de symbolen in een bepaalde volgorde te schrijven, aangezien de positie geen betekenis had, maar hiëroglyfische getallen werden gewoonlijk geschreven met de symbolen van grotere getallen links, of bovenop de kleinere. Hier is het Egyptische symbool voor het getal: 4622, een van de getallen die op de muren van de tempel in Karnak (Thibes), Egypte, zijn gegraveerd.

De Egyptenaren gebruikten ook een meer populaire schrijfsymbologie, het hiëratisch schrift, dat een soort stenografie was van hiërogliefen. De beroemde Rhind papyrus, afgebeeld in de afbeelding hierboven en bewaard in het British Museum in Londen, waarvan we veel weten over de Egyptische wiskunde, is geschreven in Hiëratisch schrift. Het is genoemd naar de Schotse archeoloog, Alexander Henry Rhind, die het vond, en werd geschreven in inkt op papyrus (zoals bijna alle hiëratische schriften) door een Egyptische schriftgeleerde, Ahmes genaamd. De Rhind papyrus vertelt ons veel over hoe de Egyptenaren veel van hun wiskundige berekeningen uitvoerden. Het bevat alledaagse rekenproblemen van allerlei aard: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het laat ook een basisbewustzijn zien van ingewikkelde wiskunde, zoals samengestelde en priemgetallen, verschillende soorten middelen en perfecte getallen. Een van de meest intrigerende kenmerken van de oude Egyptische wiskunde is de manier waarop zij breuken behandelden.

Egyptische breuken

Een interessant hiëroglief dat door de Egyptenaren werd gebruikt in de context van getallen is een afbeelding van een oog. Een “oog” boven een getal geeft aan welk deel het is van het gehele getal. Een oog boven het getal 3, bijvoorbeeld, geeft aan dat dit het derde deel is van het gehele getal, d.w.z. de breuk eenderde (1/3). Deze hiëroglief maakt dus van het getal zijn inverse. Men zou kunnen denken dat het “oog” gewoon breuken voorstelt, maar er is een belangrijk verschil tussen Egyptische breuken en de breuken die wij vandaag gebruiken. Terwijl wij tegenwoordig breuken schrijven als 2/5 of 3/5, waarbij de teller elk getal kan zijn, is in Egyptische breuken de teller altijd 1: ½, ¼, enz. Deze breuken staan bekend als “eenheidsfracties”. Maar als de Egyptenaren alleen eenheidsfracties gebruikten, hoe schreven zij dan breuken als 3/4 of 7/12? Deze breuken werden geschreven als “sommen” van breuken, de een verschillend van de ander. Bijvoorbeeld, de breuk 3/4 kan geschreven worden als 1/2+1/4. Als men ons vandaag zou vragen wat is 1/3 + 1/4? – zouden wij schrijven: 7/12, maar de Egyptenaren zouden het gewoon 1/3+1/4 laten zijn. Terloops wordt opgemerkt dat de Egyptenaren één uitzondering op de regel hadden – de breuk 2/3.

Waarom gebruikten de Egyptenaren alleen ‘eenheidsfracties’? Er zijn een paar speculaties geweest, maar hier is er een die me een goede gok lijkt. Kijk bijvoorbeeld naar het volgende probleem: In een pizzeria moet de verkoper 5 pizzabakjes gelijk verdelen onder 8 mensen, hoe kan hij dit doen?

• In de wiskundetaal van vandaag zouden we kunnen zeggen dat elk van hen 5/8 van de pizza’s moet krijgen. De verkoper zou elk dienblad in acht porties moeten verdelen, zodat iedereen van elk dienblad een stuk krijgt. Dit zou een hoop werk voor de verkoper betekenen. Als alternatief zou hij één persoon 5/8 van één pizza kunnen geven, de tweede de resterende 3/8 en nog eens 2/8 van de tweede pizza, de derde persoon zou dan 5/8 krijgen enz.
• Een andere optie is om 5/8 als een Egyptische breuk te schrijven: 1/2+1/8 = 5/8. In dit geval zou de verkoper 4 pizza’s kunnen nemen en ze elk in tweeën snijden zodat iedereen een halve pizza krijgt, terwijl hij alleen de laatste pizza in acht stukken zou moeten snijden zodat iedereen een extra achtste krijgt.

Niet alleen levert de Egyptische methode voor iedereen een klein aantal stukken op, het wordt door hen ook als eerlijker ervaren. Iedereen krijgt twee stukken pizza, één ter grootte van een halve en één ter grootte van een achtste, in plaats van dat sommigen één stuk krijgen (5/8) en anderen twee (3/8 + 2/8).

Wiskundigen zijn tot op de dag van vandaag geïntrigeerd door Egyptische breuken, en er is nog veel dat ontdekt moet worden.

Benieuwd naar meer informatie over Egyptische symbolen?

Klik hier voor een korte introductie in Egyptische schriften – en markeer deze stap dan als compleet en druk op volgende om te zien hoe goed je Egyptische cijfers kunt ontcijferen.