«Oye: tengo agujeros en unos vaqueros. Puedes remendarlos por mí?». Tu amigo, que conoce tu legendaria habilidad con la aguja y el hilo, te manda un mensaje para pedirte ayuda.

«Claro, es fácil», respondes. «¿De qué tamaño son los agujeros?»

«Son todos de formas raras, pero nunca más anchos que un centímetro. Iré más tarde, ¡así que prepara las cosas!»

Vas a tu kit de costura y sacas unos parches circulares, cada uno de 2,5 cm de diámetro. «Esto debería servir», piensas para ti. Pero, ¿lo hará? ¿Puede un parche circular de diámetro 1 cubrir realmente cualquier agujero que tenga como máximo 1 pulgada de ancho en cualquier dirección?

Ves un parche diferente en tu kit, un triángulo equilátero con lados de 1 pulgada. Observas que ningún punto del triángulo está separado más de 1 pulgada, por lo que un agujero en los vaqueros de tu amigo podría tener esta forma. Pero cuando sostienes un parche circular contra él, observas que el círculo cubre dos vértices del triángulo, pero el tercer vértice sobresale.

Un poco de geometría elemental confirma que la altura del triángulo, $latex \frac{{3}}{2}$ pulgadas, es mayor que el radio del círculo, $latex \frac{1}{2}$ pulgadas. El círculo no puede cubrir el triángulo, y el triángulo tampoco puede cubrir el círculo. Como un agujero puede tener cualquiera de las dos formas, esto significa que ninguno de estos parches podría cubrir todos los posibles agujeros de los vaqueros de tu amigo.

Podrías usar un parche muy grande para estar seguro, pero no quieres desperdiciar un material precioso. Así que la pregunta es: ¿cuál es el parche más pequeño que se necesita para cubrir un agujero de como máximo 2,5 cm de ancho? Una búsqueda en Internet revela que los matemáticos también han estado pensando en esta cuestión: Llevan más de 100 años buscando una cubierta mínima universal. Todavía no la han encontrado, pero los resultados recientes nos acercan a esta forma ideal.

El «problema de la cobertura universal» fue planteado por primera vez por Henri Lebesgue en una carta a su compañero matemático Julius Pál en 1914. El problema puede formularse de diferentes maneras, pero en su núcleo está la noción de región de diámetro 1: se trata de un conjunto de puntos en el plano en el que no hay dos puntos separados por más de 1 unidad, como un agujero de no más de 1 pulgada de ancho en nuestro problema de parcheo de pantalones.

Si un conjunto de puntos puede caber dentro de otro, decimos que el segundo conjunto «cubre» al primero, como un parche que cubre un agujero. Una «cobertura universal» es una región que puede cubrir un conjunto entero de formas, como todas las formas de diámetro 1, y el problema de cobertura universal de Lebesgue pide la región convexa más pequeña que hace el truco. («Convexa» significa, a grandes rasgos, que la cobertura no tiene hendiduras, y «más pequeña» significa de área mínima.)

Puede sorprender que un problema geométrico tan aparentemente elemental no haya sido resuelto en 100 años. Pero parte de lo que hace que el problema sea tan difícil es que es difícil precisar exactamente cómo podría ser una forma de diámetro 1. Como hemos visto antes, puede ser difícil demostrar teoremas sobre cosas que no se pueden imaginar del todo.

Cuando se trata de cubrir conjuntos de diámetro 1, hay un montón de formas que sabemos que funcionan, sólo que ninguna forma sabemos que es mínima. Echemos un vistazo a por qué los matemáticos tienen dificultades para coser esto.

Empecemos con una región R de diámetro 1. Realmente no tenemos ni idea de cómo puede ser R; sólo sabemos que, al igual que los agujeros que estamos tratando de cubrir, nunca tiene más de 1 unidad de ancho. Pero como tiene diámetro 1, supongamos que tiene dos puntos A y B que están separados por 1 unidad.

Supongamos ahora que R contiene un tercer punto C. ¿Dónde podría estar situado C? No puede estar a más de 1 unidad de A, lo que significa que debe estar en el disco de radio 1 centrado en A. Puedes construir este disco usando un compás geométrico centrado en A y abierto a B.

Pero C tampoco puede estar a más de 1 unidad de B, así que debe estar en el disco de radio 1 centrado en B, que puedes construir usando tu compás.

Esto significa que el punto C tiene que estar en la intersección de esos dos discos.

Este argumento no sólo se aplica al punto C; se aplica a todos los puntos posibles de R. Así que todos los puntos de R deben estar en la intersección de estos dos círculos. En otras palabras, esta región puede cubrir todo posible conjunto R de diámetro 1 y es una cubierta universal.

Pero esta cubierta universal no tiene área mínima. Vamos a recortarla.

Nota que los puntos de intersección de las circunferencias forman dos triángulos equiláteros con A y B, y la distancia desde la parte superior (y la inferior) hasta el centro del segmento AB es de $latex \frac{{3}}{2}$ unidades.

Dado que $latex \frac{{3}}{2} > \frac{1}{2}$ , podemos trazar líneas paralelas $latex \frac{1}{2}$ unidad de distancia de $latex \overline{AB}$ a cada lado así.

Considera ahora las dos regiones en rojo, una por encima de la línea paralela superior y la otra por debajo de la inferior.

Como la distancia entre las dos líneas paralelas es 1, un conjunto de diámetro 1 no podría estar en ambas regiones rojas al mismo tiempo. Eso significa que no necesitamos las dos partes rojas para una cubierta universal. Podemos simplemente cortar una.

Nuestra cubierta original – la intersección de los dos discos – tiene un área $latex \frac{2\pi}{3}-\frac{sqrt{3}{2} \1,228, y nuestra nueva cubierta tiene un área $latex \frac{pi}{2}-\frac{1}{2} \1,071. Partiendo de una cubierta universal elemental, pudimos hacerla más pequeña eliminando una pieza extraña.

Así es exactamente como los matemáticos han llegado a la cubierta universal más pequeña actual. Utilizando técnicas más avanzadas, podemos encontrar otras formas simples con las que empezar. Por ejemplo, se puede demostrar que un cuadrado de 1 por 1 es una cubierta universal. Y en respuesta al reto de Lebesgue, Pál utilizó las propiedades de las llamadas curvas de anchura constante para demostrar que, aunque un conjunto de diámetro 1 pueda asomar por un círculo de diámetro 1, siempre se puede desplazar o girar para que quepa dentro del hexágono que circunscribe ese círculo:

Abajo mostramos el hexágono de Pál cubriendo varias formas de diámetro 1. La forma del centro es un triángulo de Reuleaux, una curva de anchura constante estrechamente relacionada con las cubiertas de ejemplo que construimos anteriormente. (Podemos construir un triángulo de Reuleaux a partir de nuestras coberturas de ejemplo centrando nuestro compás en la intersección superior de los dos círculos, abriéndolo a una anchura de 1, y haciendo un arco de A a B.)

Este hexágono tiene un área $latex \frac{sqrt{3}}{2} \aprox$ 0,866, que es menor que el área de nuestras tapas de ejemplo y del cuadrado unitario. Pero Pál también demostró que no necesitamos todo el hexágono. Usando el siguiente argumento ingenioso, encontró algunas partes extrañas que podía cortar.

Empezamos con dos copias del hexágono de Pál apiladas una encima de la otra

y giramos una de ellas 30 grados alrededor de su centro.

Así se crean muchas cosas chulas -como un dodecágono formado por la intersección de los dos hexágonos- pero lo que más nos interesa son los seis pequeños triángulos rojos que se muestran a continuación.

Cada triángulo rojo está tanto dentro del hexágono original como fuera del hexágono girado. Dado que cada par de lados opuestos de cada hexágono están separados por 1 unidad, los puntos que se encuentran en dos triángulos rojos opuestos deben estar separados por más de 1 unidad. Como en nuestro argumento anterior, una cubierta universal no necesitaría ambos triángulos en cada par opuesto, ya que un conjunto de diámetro 1 no podría estar en ambos al mismo tiempo. Eso significa que deberíamos ser capaces de eliminar algunos de ellos. Siendo optimistas, podríamos esperar eliminar tres: uno de cada par. Pero desgraciadamente no podemos eliminar tres triángulos rojos de nuestra cubierta y seguir manejando todos los posibles conjuntos de diámetro 1. Veamos por qué.

Un hexágono puede girarse 60 grados o voltearse a través de una de sus líneas de simetría sin que nada cambie, así que en realidad sólo hay dos formas diferentes de elegir un triángulo rojo de cada par opuesto: Los tres triángulos pueden ser consecutivos o pueden alternarse. Esto se muestra a continuación, con puntos que indican qué triángulos podría ocupar un conjunto de diámetro 1.

Si el conjunto que necesitamos cubrir ocupa tres triángulos consecutivos, como en la izquierda, no puede ser cubierto por la forma que obtendríamos quitando tres triángulos alternos, como en la derecha. Y si el conjunto ocupa tres triángulos alternos, no puede ser cubierto por la forma que obtendríamos quitando tres triángulos consecutivos. Quitando cualquiera de los dos conjuntos de tres triángulos queda un conjunto potencial de diámetro 1 sin cubrir. Así que no podemos eliminar tres triángulos rojos.

Pero sí podemos eliminar dos. Los dos conjuntos problemáticos descritos anteriormente todavía pueden ser cubiertos si eliminamos dos triángulos rojos que no son ni adyacentes ni opuestos. Eso es justo lo que hizo Pál.

Cortó dos triángulos de su hexágono para obtener una nueva forma que está garantizada para cubrir todas las regiones de diámetro 1. Esta nueva cubierta universal tiene un área de 2 – $latex \frac{2}{cuadrado{3}} \aprox$ 0,8453 , un poco menos que el hexágono.

Y el recorte continuó. Los matemáticos Roland Sprague, en 1936, y H.C. Hansen, en 1992, lograron extraer piezas más pequeñas. Y hace unos años, el matemático aficionado Philip Gibbs, inspirado por una entrada del blog del matemático John Baez, propuso algunas nuevas piezas para recortar. Trabajando con Báez y otro colaborador, generalizó las técnicas de Sprague y Hansen para rebanar aún más la cubierta, reclamando un nuevo récord mundial para la cubierta convexa más pequeña de conjuntos de diámetro 1, un récord que el propio Gibbs mejoró rápidamente eliminando aún más área innecesaria.

La buena noticia es que seguimos encontrando trozos del hexágono de Pál para cortar. La mala noticia es que los trozos son muy pequeños. El trabajo de Sprague redujo el área de la cubierta en unas 0,001 unidades cuadradas, y el de Hansen sólo lo hizo en 0,00000000004 unidades cuadradas. Gibbs y sus colaboradores redujeron la cubierta de Hansen en unas 0,00002 unidades cuadradas, lo que parece un recorte enorme en comparación.

¿Qué tan bajo pueden llegar? En 2005 Peter Brass y Mehrbod Sharifi demostraron que ninguna cobertura universal podía ser menor de 0,832 unidades cuadradas, así que sabemos que no podemos recortar mucho más del registro actual. Pero si se te ocurre una nueva técnica o un nuevo punto de partida, podrías acercarnos a la cobertura universal mínima y cortar un trozo de historia matemática para ti. Sólo recuerda que lo más difícil es imaginar las infinitas formas que podría tener un conjunto de diámetro 1. Y asegurarte de que tienes todas las posibilidades cubiertas.