Puntos clave

PUNTOS CLAVE

• La probabilidad es un número que se puede asignar a los resultados y eventos. Siempre es mayor o igual que cero, y menor o igual que uno.
• La suma de las probabilidades de todos los resultados debe ser igual a 1.
• Si dos eventos no tienen resultados en común, la probabilidad de que uno u otro ocurra es la suma de sus probabilidades individuales.
• La probabilidad de que un suceso no ocurra es 1 menos la probabilidad de que el suceso ocurra.
• Dos sucesos \text{A} y \text{B} son independientes si saber que uno ocurre no cambia la probabilidad de que el otro ocurra.

Términos clave

• Experimento: Algo que se hace y que produce resultados medibles, llamados resultados.
• Resultado: Uno de los resultados individuales que pueden ocurrir en un experimento.
• Evento: Un subconjunto del espacio muestral.
• Espacio muestral: El conjunto de todos los resultados de un experimento.

En la probabilidad discreta, suponemos un experimento bien definido, como lanzar una moneda o un dado. Cada resultado individual que podría ocurrir se llama resultado. El conjunto de todos los resultados se llama espacio muestral, y cualquier subconjunto del espacio muestral se llama suceso.

Por ejemplo, considere el experimento de lanzar una moneda dos veces. Hay cuatro resultados individuales, a saber \text{HH},\text{HT},\text{TH},\text{TT}. El espacio muestral es, por tanto, \text{HH},\text{HT},\text{TH},\text{TT}. El suceso «sale al menos una cara» sería el conjunto \{text{HH},\text{HT},\text{TH}}. Si la moneda fuera una moneda normal, asignaríamos la probabilidad de 1/4 a cada resultado.

En la teoría de la probabilidad, la probabilidad \text{P} de algún suceso \text{E}, denotado \text{P}{left(\text{E}{right), suele definirse de forma que \text{P} satisfaga una serie de axiomas, o reglas. Las reglas más básicas y más importantes se enumeran a continuación.

Reglas de la probabilidad

La probabilidad es un número. Siempre es mayor o igual que cero, y menor o igual que uno. Se puede escribir como 0leq{texto{P}{izquierda{texto{A}{derecha}{geq{1}. Un evento imposible, o un evento que nunca ocurre, tiene una probabilidad de 0. Un evento que siempre ocurre tiene una probabilidad de 1. Un evento con una probabilidad de 0,5 ocurrirá la mitad de las veces.

La suma de las probabilidades de todas las posibilidades debe ser igual a 1. Algún resultado debe ocurrir en todos los ensayos, y la suma de todas las probabilidades es 100%, o en este caso, 1. Esto se puede escribir como \text{P}\left(\text{S}\right)=1, donde \text{S} representa todo el espacio muestral.

Si dos eventos no tienen resultados en común, la probabilidad de que uno u otro ocurra es la suma de sus probabilidades individuales. Si un suceso ocurre en el 30% de los ensayos, un suceso diferente ocurre en el 20% de los ensayos, y los dos no pueden ocurrir juntos (si son disjuntos), entonces la probabilidad de que uno u otro ocurra es 30%+20%=50%. Esto se conoce a veces como la regla de la adición, y se puede simplificar con lo siguiente \texto{P}izquierda({texto{A}} \texto{o} {texto{B}}derecha)=texto{P}izquierda(\texto{A}derecha)+texto{P}izquierda(\texto{B}derecha). La palabra «o» significa lo mismo en matemáticas que la unión, que utiliza el siguiente símbolo \cabeza. Por lo tanto, cuando \text{A} y \text{B} son disjuntos, tenemos \text{P}\a la izquierda(\text{A}\a la derecha)=\text{P}\a la izquierda(\text{A}\a la derecha)+\a la izquierda(\text{B}\a la derecha). La probabilidad de que un evento no ocurra es 1 menos la probabilidad de que el evento ocurra. Si un suceso ocurre en el 60% de los ensayos, no ocurre en el otro 40%, porque 100%-60%=40%. La probabilidad de que un suceso ocurra y la probabilidad de que no ocurra siempre suman el 100%, o sea, 1. Estos sucesos se denominan sucesos complementarios, y esta regla se llama a veces regla del complemento. Se puede simplificar con \text{P}[izquierda](\text{A}^texto{c}[derecha])=1-\text{P}[izquierda](\text{A}[derecha]), donde \text{A}^texto{c} es el complemento de \text{A}.

Dos sucesos \text{A} y \text{B} son independientes si saber que uno ocurre no cambia la probabilidad de que el otro ocurra. Esto se suele llamar la regla de la multiplicación. Si \text{A} y \text{B} son independientes, entonces \text{P}left(\text{A} \text{y} \text{B}\right)=\text{P}left(\text{A}\right)\text{P}left(\text{B}\right). La palabra «y» en matemáticas significa lo mismo en matemáticas que la intersección, que utiliza el siguiente símbolo: \cap. Por lo tanto, cuando \text{A} y \text{B} son independientes, tenemos \text{P}left(\text{A}\cap{B}\right)=\text{P}left(\text{A}\right)\text{P}left(\text{B}\right).

Ampliación del ejemplo

Aprovechando nuestro ejemplo anterior de lanzar dos monedas, asignamos la probabilidad 1/4 a cada uno de los 4 resultados. Consideramos cada una de las cinco reglas anteriores en el contexto de este ejemplo.

1. Obsérvese que cada probabilidad es 1/4, que está entre 0 y 1.

2. Obsérvese que la suma de todas las probabilidades es 1, ya que \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1.

3. Supongamos que \text{A} es el suceso en el que ocurre exactamente una cara, y B es el suceso en el que ocurren exactamente dos colas. Entonces \text{A}={text{HT},\text{TH}} y \text{B}={text{TT}} son disjuntos. Además, \text{P}[izquierda](\text{A}[derecha])=\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=text{P}[izquierda](\text{A}[derecha])+\text{P}[izquierda](\text{B}[derecha]).

4. La probabilidad de que no haya cabezas es 1/4, que es igual a 1-3/4. Por lo tanto, si \text{A}=\text{HT},\text{TH},\text{HH}} es el caso de que se produzca una cabeza, tenemos \text{P}Izquierda(\text{A}^text{c}Derecha)=\frac{1}{4}=1-\frac{3}{4}=1-\text{P}Izquierda(\text{A}{Derecha).

5. Si \text{A} es el suceso de que el primer lanzamiento sea cara y \text{B} es el suceso de que el segundo lanzamiento sea cara, entonces \text{A} y \text{B} son independientes. Tenemos que \text{A}={text{HT},\text{HH}} y \text{B}={text{TH},\text{HH}} y \text{A}cap{text{B}}={text{HH}}. Note that \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}}=\text{P}\left(\text{A}\right)\text{P}\left(\text{B}\right).

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional de un suceso es la probabilidad de que ocurra un suceso dado que ha ocurrido otro.

Objetivos de aprendizaje

Explicar el significado del teorema de Bayes en la manipulación de las probabilidades condicionales

Objetivos clave

PUNTOS CLAVE

• La probabilidad condicional \text{P}[\text{B}[\text{A}]/[derecha] de un evento \text{B}, dado un evento \text{A}, se define por: \text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{A}\right)}, when \text{P}\left(\text{A}\right)>0.
• Si el conocimiento de que el suceso \text{A} ocurre no cambia la probabilidad de que el suceso \text{B} ocurra, entonces \text{A} y \text{B} son sucesos independientes, y por tanto, \text{P} {Izquierda}(\text{B}Medio} {A}Derecha)=text{P} {Izquierda}(\text{B}Derecha).
• Matemáticamente, el teorema de Bayes da la relación entre las probabilidades de \texto{A} y \texto{B}, \texto{P}izquierda(\texto{A}derecha) y \texto{P}izquierda(\texto{B}derecha), y las probabilidades condicionales de \text{A} dado \text{B} y \text{B} dado \text{A}, \text{P}left(\text{A}cap{{B}}right) y \text{P}left(\text{B}cap{A}}right). En su forma más común, es: \text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}.

Términos clave

• Probabilidad condicional: La probabilidad de que un evento tenga lugar dada la suposición restrictiva de que otro evento ha tenido lugar, o de que una combinación de otros eventos ha tenido lugar
• independiente: No dependiente; no contingente o dependiente de otra cosa; libre.

Probabilidad de B dado que A ha ocurrido

Nuestra estimación de la probabilidad de un evento puede cambiar si sabemos que ha ocurrido algún otro evento. Por ejemplo, la probabilidad de que un dado arrojado muestre un 2 es 1/6 sin ninguna otra información, pero si alguien mira el dado y le dice que es un número par, la probabilidad es ahora de 1/3 de que sea un 2. La notación \text{P} {izquierda(\text{B}\mid{text{A}}derecha) indica una probabilidad condicional, lo que significa que indica la probabilidad de un evento bajo la condición de que sepamos que ha ocurrido otro evento. La barra «\mid» puede leerse como «dado», de modo que \text{P}left(\text{B}\mid{\text{A}}right) se lee como «la probabilidad de \text{B} dado que \text{A} ha ocurrido».

La probabilidad condicional \text{P}left(\text{B}mid{text{A}}right) de un evento \text{B}, dado un evento \text{A}, se define por:

\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{A}\right)}

Cuando \text{P}\\️(\text{A}\️)>0. Asegúrese de recordar los distintos papeles de \text{B} y \text{A} en esta fórmula. El conjunto después de la barra es el que estamos asumiendo que ha ocurrido, y su probabilidad ocurre en el denominador de la fórmula.

Ejemplo

Supongamos que se lanza una moneda 3 veces dando el espacio muestral:

Texto{S}={texto{HHH},{texto{HHT},{texto{HTH},{texto{THH},{texto{TTH},{texto{THT},{texto{TTT}}

Cada resultado individual tiene probabilidad 1/8. Supongamos que \text{B} es el suceso de que salga al menos una cara y \text{A} es el suceso de que las 3 monedas sean iguales. Entonces la probabilidad de \text{B} dado \text{A} es 1/2, ya que \text{A}cap{\text{B}}={text{HHH}} que tiene probabilidad 1/8 y \text{A}={text{HHH},\text{TTT}} que tiene probabilidad 2/8, y \frac{1/8}{2/8}={frac{1}{2}.

Independencia

La probabilidad condicional \text{P} {a la izquierda}(\text{B} {a la derecha}) no siempre es igual a la probabilidad incondicional \text{P} {a la izquierda}(\text{B} {a la derecha). La razón de esto es que la ocurrencia del evento \text{A} puede proporcionar información adicional que puede cambiar la probabilidad de que el evento \text{B} ocurra. Si el conocimiento de que el evento {text} ocurre no cambia la probabilidad de que el evento {text}B ocurra, entonces el {text}A} y el {text}B} son eventos independientes, y por lo tanto, {text}P} izquierda ({text}B} medio {text}A} derecha) = {text}P} izquierda ({text}B} derecha).

Teorema de Bayes

En la teoría de la probabilidad y la estadística, el teorema de Bayes (alternativamente ley de Bayes o regla de Bayes) es un resultado de importancia en la manipulación matemática de las probabilidades condicionales. Se puede derivar de los axiomas básicos de la probabilidad.

Matemáticamente, el teorema de Bayes da la relación entre las probabilidades de \text{A} y \text{B}, \text{P}\a la izquierda(\text{A}\a la derecha) y \text{P}\a la izquierda(\text{B}\a la derecha), y las probabilidades condicionales de \text{A} dado \text{B} y \text{B} dado \text{A}. En su forma más común, es:

\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}

Esto puede ser más fácil de recordar en esta forma simétrica alternativa:

\frac{\text{P}\left(\text{A}\mid{\text{B}}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\mid{\text{A}}\right)}=\frac{\text{P}\left(\text{A}\right)}{\text{P}\left(\text{B}\right)}

Ejemplo

Supongamos que alguien te dice que ha tenido una bonita conversación con alguien en el tren. Sin saber nada más sobre esta conversación, la probabilidad de que estuviera hablando con una mujer es del 50%. Ahora supongamos que también nos dicen que esa persona tiene el pelo largo. Ahora es más probable que estén hablando con una mujer, ya que en esta ciudad las mujeres tienen más probabilidades de tener el pelo largo que los hombres. Se puede utilizar el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que la persona sea una mujer.

Para ver cómo se hace, dejemos que \text{W} represente el suceso de que la conversación se mantuvo con una mujer, y \text{L} denote el suceso de que la conversación se mantuvo con una persona de pelo largo. Se puede suponer que las mujeres constituyen la mitad de la población para este ejemplo. Por tanto, sin saber nada más, la probabilidad de que ocurra \text{W} es \text{P}\a la izquierda(\text{W}\a la derecha)=0,5.

Supongamos que también se sabe que el 75% de las mujeres de esta ciudad tienen el pelo largo, lo que denotamos como \text{P}\a la izquierda(\text{L}\a la derecha)=0,75. Del mismo modo, supongamos que se sabe que el 25% de los hombres de esta ciudad tienen el pelo largo, o sea \text{P}[izquierda](\text{L}[medio][M}[derecha])=0,25, donde \text{M} es el suceso complementario de \text{W}, es decir el suceso de que la conversación se mantuvo con un hombre (suponiendo que todo humano es hombre o mujer).

Nuestro objetivo es calcular la probabilidad de que la conversación se mantuviera con una mujer, dado el hecho de que la persona tuviera el pelo largo, o, en nuestra notación, \text{P}(\text{W}mid{text{L}}). Utilizando la fórmula del teorema de Bayes, tenemos:

\text{P}\left(\text{W}\mid{\text{L}}\right)=\frac{\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{W}}\right)\text{P}\left(\text{W}\right)}{\text{P}\left(\text{L}\right)}=\frac{\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{W}}\right)\text{P}\left(\text{W}\right)}{\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{W}}\right)\text{P}\left(\text{W}\right)+\text{P}\left(\text{L}\mid{\text{M}}\right)\text{P}\left(\text{M}\right)}=\frac{0.75{cdot{0,5}}{0,75{cdot{0,5}+0,25{cdot{0,5}}=0,75

Uniones e intersecciones

Unión e intersección son dos conceptos clave en la teoría de conjuntos y en la probabilidad.

Objetivos de aprendizaje

Dar ejemplos de la intersección y la unión de dos o más conjuntos

Puntos clave

PUNTOS CLAVE

• La unión de dos o más conjuntos es el conjunto que contiene todos los elementos de los dos o más conjuntos. La unión se denota con el símbolo \cup.
• La regla general de adición de probabilidades para la unión de dos sucesos establece que \text{P}[izquierda](\text{A}[copa}[derecha])=\text{P}[izquierda](\text{A}[derecha])+\text{P}[izquierda](\text{B}[derecha])-\text{P}[izquierda](\text{A}[copa}[derecha]), donde \text{A}cap{\text{B}} es la intersección de los dos conjuntos.
• La regla de adición se puede acortar si los conjuntos son disjuntos: \text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right). Esto puede incluso extenderse a más conjuntos si todos son disjuntos: \text{P}left(\text{A}\cup{{text{B}}\cup{text{C}}\right)=\text{P}left(\text{A}\right)+\text{P}left(\text{B}\right)+\text{P}left(\text{C}\right).
• La intersección de dos o más conjuntos es el conjunto de elementos que son comunes a cada conjunto. Se utiliza el símbolo \cap para denotar la intersección.
• Cuando los sucesos son independientes, podemos utilizar la regla de multiplicación de sucesos independientes, que establece que \text{P}left(\text{A}\cap{text{B}\right)=\text{P}left(\text{A}\right)\text{P}left(\text{B}\right).

Términos clave

• Independiente: No contingente o dependiente de otra cosa.
• Disjuntos: Que no tienen miembros en común; que tienen una intersección igual al conjunto vacío.

La probabilidad utiliza las ideas matemáticas de los conjuntos, como hemos visto en la definición tanto del espacio muestral de un experimento como en la definición de un suceso. Para realizar cálculos básicos de probabilidad, necesitamos repasar las ideas de la teoría de conjuntos relacionadas con las operaciones de conjuntos de unión, intersección y complemento.

Unión

La unión de dos o más conjuntos es el conjunto que contiene todos los elementos de cada uno de los conjuntos; un elemento está en la unión si pertenece al menos a uno de los conjuntos. El símbolo de la unión es \cup, y se asocia con la palabra «o», porque \text{A}\cup{text{B}} es el conjunto de todos los elementos que están en \text{A} o \text{B} Para encontrar la unión de dos conjuntos, hay que enumerar los elementos que están en cualquiera de los dos conjuntos (o en ambos). En términos de un Diagrama de Venn, la unión de los conjuntos \text{A} y \text{B} puede mostrarse como dos círculos entrelazados completamente sombreados.

Unión de dos conjuntos: El diagrama de Venn sombreado muestra la unión del conjunto \text{A} (el círculo de la izquierda) con el conjunto \text{B} (el círculo de la derecha). Se puede escribir de forma abreviada como \text{A}\cup{text{B}}

En símbolos, ya que la unión de \text{A} y \text{B} contiene todos los puntos que están en \text{A} o \text{B} o en ambos, la definición de la unión es:

\text{A}\cup{\text{B}}=\{\text{x}:\text{x}\in{\text{A}} \text{ o } \Por ejemplo, si el texto A = 1, 3, 5, 7 y el texto B = 1, 2, 4, 6… entonces \text{A}cup{text{B}}={1,2,3,4,5,6,7}. Obsérvese que el elemento 1 no aparece dos veces en la unión, aunque aparezca en ambos conjuntos \text{A} y \text{B}. Esto nos lleva a la regla general de adición para la unión de dos sucesos:

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)−\text{P}\left(\text{A}\cap{\text{B}}\right)

Donde \text{P}left(\text{A}cap{text{B}}right) es la intersección de los dos conjuntos. Debemos restar esto para evitar la doble contabilidad de la inclusión de un elemento.

Si los conjuntos \text{A} y \text{B} son disjuntos, sin embargo, el evento \text{A}\cap{text{B}} no tiene resultados en él, y es un conjunto vacío denotado como ∅, que tiene una probabilidad de cero. Por lo tanto, la regla anterior se puede acortar sólo para conjuntos disjuntos:

ext{P}izquierda(\text{A}cap{B}}derecha)=texto{P}izquierda(\text{A}derecha)+texto{P}izquierda(\text{B}derecha)

Esto puede incluso extenderse a más conjuntos si todos son disjuntos:

\text{P}\left(\text{A}\cup{\text{B}}\cup{\text{C}}\right)=\text{P}\left(\text{A}\right)+\text{P}\left(\text{B}\right)+\text{P}\left(\text{C}\right)

Intersección

La intersección de dos o más conjuntos es el conjunto de elementos que son comunes a cada uno de los conjuntos. Un elemento está en la intersección si pertenece a todos los conjuntos. El símbolo de la intersección es \cap, y se asocia con la palabra «y», porque \text{A}\cap{{text{B}} es el conjunto de elementos que están en \text{A} y \text{B} simultáneamente. Para encontrar la intersección de dos (o más) conjuntos, incluya sólo los elementos que figuran en ambos (o todos) los conjuntos. En términos de un Diagrama de Venn, la intersección de dos conjuntos \text{A} y \text{B} puede mostrarse en la región sombreada en medio de dos círculos entrelazados.

Intersección de dos conjuntos: El conjunto A es el círculo de la izquierda, el conjunto B es el círculo de la derecha, y la intersección de A y B, o \text{A}\cap{text{B}}, es la parte sombreada del centro.

En notación matemática, la intersección de \text{A} y \text{B} se escribe como \text{A}\cap{text{B}}={text{x}:\text{x}\in{text{A}} y \text{x}\in{text{B}}. Por ejemplo, si \text{A}={1,3,5,7}} y \text{B}={1,2,4,6}}, entonces \text{A}cap{text{B}}={1} porque 1 es el único elemento que aparece en ambos conjuntos \text{A} y \text{B}.

Cuando los sucesos son independientes, es decir, cuando el resultado de un suceso no afecta al resultado de otro, podemos utilizar la regla de multiplicación para sucesos independientes, que dice:

Texto {P}izquierda(texto{A}capítulo{texto{B}}derecha)=Texto {P}izquierda(texto{A}derecha)|texto{P}izquierda(texto{B}derecha)

Por ejemplo, digamos que lanzamos una moneda dos veces, y queremos saber la probabilidad de sacar dos caras. Como el primer lanzamiento no afecta al segundo, los eventos son independientes. Digamos que es el suceso de que el primer lanzamiento es una cara y que \text{B} es el suceso de que el segundo lanzamiento es una cara, entonces \text{P}[izquierda](\text{A}[cap]|text{B}[derecha])=\frac{1}[2}[cdot]=\frac{1}[4].

Eventos complementarios

El complemento de \text{A} es el evento en el que \text{A} no ocurre.

Objetivos de aprendizaje

Explicar un ejemplo de suceso complementario

Puntos clave

PUNTOS CLAVE

• El complemento de un suceso \text{A} suele denotarse como \text{A}′, \text{A}^text{c} o \bar{text{A}}.
• Un evento y su complemento son mutuamente excluyentes, lo que significa que si uno de los dos eventos ocurre, el otro evento no puede ocurrir.
• Un evento y su complemento son exhaustivos, lo que significa que ambos eventos cubren todas las posibilidades.

Términos clave

• Exhaustivo: incluye todos los elementos posibles
• Mutuamente excluyente: describe múltiples sucesos o estados del ser de tal manera que la ocurrencia de cualquiera implica la no ocurrencia de todos los demás

¿Qué son los sucesos complementarios?

En la teoría de la probabilidad, el complemento de cualquier suceso \text{A} es el suceso , es decir, el suceso en el que \text{A} no ocurre. El suceso \text{A} y su complemento son mutuamente excluyentes y exhaustivos, lo que significa que si uno ocurre, el otro no, y que ambos grupos cubren todas las posibilidades. En general, sólo hay un suceso \text{B} tal que \text{A} y \text{B} son mutuamente excluyentes y exhaustivos; ese suceso es el complemento de \text{A}. El complemento de un evento \text{A} suele denotarse como \text{A}′, \text{A}^c o \bar{text{A}}.

Ejemplos

Ejemplos sencillos

Un ejemplo común utilizado para demostrar eventos complementarios es el lanzamiento de una moneda. Digamos que se lanza una moneda y se supone que no puede caer en su borde. Puede caer en cara o en cruz. No hay otras posibilidades (exhaustivas) y ambos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo (mutuamente excluyentes). Dado que estos dos sucesos son complementarios, sabemos que \text{P}[izquierda](\text{cabeza}[derecha])+\text{P}[izquierda](\text{cola}[derecha])=1.

Volteo de monedas: A menudo en los juegos deportivos, como el tenis, se utiliza el lanzamiento de una moneda para determinar quién sacará primero porque cara y cruz son eventos complementarios.

Otro ejemplo sencillo de eventos complementarios es sacar una pelota de una bolsa. Digamos que hay tres bolas de plástico en una bolsa. Una es azul y dos son rojas. Suponiendo que cada bola tiene la misma probabilidad de ser sacada de la bolsa, sabemos que \text{P}[izquierda](\text{azul}[derecha])=\frac{1}{3} y \text{P}[izquierda](\text{rojo}[derecha])=\frac{2}{3}. Dado que sólo podemos elegir el azul o el rojo (exhaustivo) y no podemos elegir ambos a la vez (mutuamente excluyentes), elegir el azul y elegir el rojo son sucesos complementarios, y \text{P}[izquierda(\text{azul}[derecha])+\text{P}[izquierda(\text{rojo}[derecha])=1.

Por último, examinemos un ejemplo de sucesos no complementarios. Si te pidieran que eligieras un número cualquiera, podrías pensar que ese número podría ser primo o compuesto. Está claro que un número no puede ser a la vez primo y compuesto, por lo que se cumple la propiedad de exclusión mutua. Sin embargo, ser primo o ser compuesto no son exhaustivos porque el número 1 en matemáticas se designa como «único. «