Movimiento armónico amortiguado
Con el tiempo, el movimiento del oscilador armónico amortiguado se reducirá hasta detenerse.
Objetivos de aprendizaje
Describir la evolución en el tiempo del movimiento del oscilador armónico amortiguado
Puntos clave
Puntos clave
- Para describir un oscilador armónico amortiguado, añadir un término dependiente de la velocidad, bx, donde b es el coeficiente de amortiguación vicioso.
- Resolver la ecuación diferencial para la ecuación de movimiento, x(t).
- Dependiendo de los valores del coeficiente de amortiguación y de la frecuencia angular no amortiguada, los resultados serán uno de los tres casos: un sistema infraamortiguado, un sistema sobreamortiguado o un sistema críticamente amortiguado.
- Infraamortiguado: «Condición en la que el amortiguamiento de un oscilador hace que regrese al equilibrio con la amplitud disminuyendo gradualmente hasta llegar a cero; el sistema regresa al equilibrio más rápidamente, pero se excede y cruza la posición de equilibrio una o más veces. «
- Amortiguado críticamente: «La condición en la que el amortiguamiento de un oscilador hace que vuelva lo más rápidamente posible a su posición de equilibrio sin oscilar hacia adelante y hacia atrás en torno a esta posición. «
- Sobreamortiguado: «La condición en la que el amortiguamiento de un oscilador hace que vuelva al equilibrio sin oscilar; el oscilador se mueve más lentamente hacia el equilibrio que en el sistema críticamente amortiguado. «
La situación física
El oscilador armónico simple describe muchos sistemas físicos en todo el mundo, pero los primeros estudios de física suelen considerar únicamente situaciones ideales que no implican fricción. En el mundo real, sin embargo, las fuerzas de fricción -como la resistencia del aire- ralentizan, o amortiguan, el movimiento de un objeto. A veces, estas fuerzas de amortiguación son lo suficientemente fuertes como para devolver un objeto al equilibrio con el tiempo.
Movimiento armónico amortiguado: Ilustración de la posición frente al tiempo de nuestro objeto que se mueve en movimiento armónico simple. Vemos que para un amortiguamiento pequeño, la amplitud de nuestro movimiento disminuye lentamente con el tiempo.
El caso más simple y más comúnmente visto ocurre cuando la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de un objeto. Nótese que existen otros casos que pueden dar lugar a ecuaciones no lineales que van más allá del alcance de este ejemplo.
Consideremos un objeto de masa m unido a un muelle de constante k. Dejemos que la fuerza de amortiguación sea proporcional a la velocidad de la masa por una constante de proporcionalidad, b, llamada coeficiente de amortiguación vicioso. Podemos describir esta situación utilizando la segunda ley de Newton, que conduce a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal y homogénea. Simplemente añadimos un término que describa la fuerza de amortiguación a nuestra ya conocida ecuación que describe un oscilador armónico simple para describir el caso general del movimiento armónico amortiguado.
{array} {{text{lcl}} \text{F}_{\text{net}}&&\text{m} \frac{\text{d}^{2}\text{x}}{\text{dt}^2} + \text{b}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \text{kx} = 0 && \frac{text{d}^2text{dt}^2} + \frac{\text{b}}{\text{m}}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \frac{text{k}{text{m}}{text{x} = 0 \frac&
= &{frac{text{d}^2}{text{dt}^2} + \gamma \frac{text{dx}{text{dt}} + \omega_0^2 \text{x} = 0 \end{array} \N – \N – omega_0^2 = \frac{text{k}{text{m}}, \gamma = \frac{text{b}{text{m}}
Esta notación utiliza \frac{text{d}^2{text{x}}, la aceleración de nuestro objeto, \frac{text{dx}}{text{dt}}, la velocidad de nuestro objeto, \omega_0, la frecuencia angular no amortiguada de la oscilación, y ɣ, que podemos llamar la relación de amortiguamiento.
Resolución de la ecuación diferencial; interpretación de resultados
Resolvemos esta ecuación diferencial para nuestra ecuación de movimiento del sistema, x(t). Suponemos una solución en forma de exponencial, donde a es un valor constante que vamos a resolver.
{text{x}(\text{t}) = \text{e}^{text{at}}
Colocando esto en la ecuación diferencial encontramos que hay tres resultados para a, que dictarán el movimiento de nuestro sistema. Podemos resolver para a mediante el uso de la ecuación cuadrática.
egin{array}{text{lcl}} \text{F}_{\text{net}}&&\text{a}^{2} \text{x} + \gamma \text{a} \text{x} + \omega_0^2 \text{x} = 0 && \text{a}^{2} + \gamma \text{a} + \omega_0^2 = 0 \\pend{array}
\text{a} = \frac{gamma \pm \sqrt{gamma^2 – 4 \omega_0^2}{2}
La situación física tiene tres posibles resultados dependiendo del valor de a, que depende del valor de lo que está bajo nuestro radical. Esta expresión puede ser positiva, negativa o igual a cero, lo que dará lugar a un sobreamortiguamiento, un infraamortiguamiento y un amortiguamiento crítico, respectivamente.
La expresión a puede ser positiva, negativa o igual a cero, lo que dará lugar a un sobreamortiguamiento, un infraamortiguamiento y un amortiguamiento crítico, respectivamente.
La expresión a puede ser positiva, negativa o igual a cero, lo que dará lugar a un sobreamortiguamiento, un infraamortiguamiento y un amortiguamiento crítico, respectivamente. En este caso, el sistema vuelve al equilibrio decayendo exponencialmente hacia cero. El sistema no pasará por la posición de equilibrio más de una vez.
\gamma^2 < 4\omega_0^2 es el caso de Subamortiguación. En este caso, el sistema oscila mientras vuelve lentamente al equilibrio y la amplitud disminuye con el tiempo. La figura 1 representa un caso de subamortiguación.
La gamma^2 = 4\omega_0^2 es el caso de amortiguación crítica. En este caso, el sistema vuelve al equilibrio muy rápidamente sin oscilar y sin pasar por la posición de equilibrio en absoluto.