En matemáticas, una hélice es una curva en un espacio tridimensional. La siguiente parametrización en coordenadas cartesianas define una hélice particular; quizás las ecuaciones más sencillas para una es
x ( t ) = cos ( t ) , {\displaystyle x(t)=\cos(t),\div>
y ( t ) = sin ( t ) , {\displaystyle y(t)=\Nsin(t),\N-,
z ( t ) = t . {\displaystyle z(t)=t.\},
A medida que aumenta el parámetro t, el punto (x(t),y(t),z(t)) traza una hélice diestra de paso 2π (o pendiente 1) y radio 1 alrededor del eje z, en un sistema de coordenadas diestro.
En coordenadas cilíndricas (r, θ, h), la misma hélice se parametriza por:
r ( t ) = 1 , {\displaystyle r(t)=1,\},
θ ( t ) = t , {\displaystyle \theta (t)=t,\}
h ( t ) = t . {\displaystyle h(t)=t.\},}
Una hélice circular de radio a y pendiente b/a (o paso 2πb) se describe mediante la siguiente parametrización:
x ( t ) = a cos ( t ) , {\displaystyle x(t)=a\cos(t),\}
z ( t ) = b t . {\displaystyle z(t)=bt.\},
Otra forma de construir matemáticamente una hélice es trazar la función de valor complejo exi en función del número real x (ver fórmula de Euler).El valor de x y las partes real e imaginaria del valor de la función dan a este gráfico tres dimensiones reales.
A excepción de las rotaciones, traslaciones y cambios de escala, todas las hélices diestras son equivalentes a la hélice definida anteriormente. La hélice equivalente a la izquierda puede construirse de varias maneras, siendo la más sencilla negar cualquiera de las componentes x, y o z.
Longitud de arco, curvatura y torsiónEditar
La longitud de una hélice circular de radio a y pendiente b/a (o paso 2πb) expresada en coordenadas rectangulares como
t ↦ ( a cos t , a sin t , b t ) , t ∈ {\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in }
equals T ⋅ a 2 + b 2 {\displaystyle T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
, su curvatura es | a | a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}
y su torsión es b a 2 + b 2 . {\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}.}
Una hélice tiene curvatura y torsión constantes no nulas.
Una hélice es la función vectorial
r = a cos t i + a sin t j + b t k {\displaystyle \mathbf {r} =a\cos t\mathbf {i} +a\nbsp;sin t\nbsp;j} +bt\mathbf {k} }
v = – a sin t i + a cos t j + b k {\displaystyle \mathbf {v} =-a\sin t\mathbf {i} +a\costos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} }
a = – a cos t i – a sin t j + 0 k {\displaystyle \mathbf {a} =-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0mathbf {k} +0mathbf {k} }
| v | = ( – a sin t ) 2 + ( a cos t ) 2 + b 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle |mathbf {v} |={sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}={sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
| a | = ( – a sin t ) 2 + ( a cos t ) 2 = a {displaystyle |mathbf {a} |={sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}=a}
s ( t ) = ∫ 0 t a 2 + b 2 d τ = a 2 + b 2 t {\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}{sqrt {a^{2}+b^{2}}d\tau ={sqrt {a^{2}+b^{2}}t}
Así que una hélice puede ser reparametrizada como una función de s {desde el estilo s}
, que debe ser de velocidad unitaria:
r ( s ) = a cos s a 2 + b 2 i + a sin s a 2 + b 2 j + b s a 2 + b 2 k {\displaystyle \mathbf {r} (s)=a\costos {\frac {s}{cuadrado {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\a-sin {\frac {s} {\a^2}+b^2}}}}\mathbf {j} +{{frac {bs}{cuadrado {a^2}+b^2}}}}\mathbf {k}} }
El vector tangente unitario es
d r d s = T = – a a 2 + b 2 sin s a 2 + b 2 i + a a 2 + b 2 cos s a 2 + b 2 j + b a 2 + b 2 k {\displaystyle {\frac {dmathbf {r}} {{dds}}={mathbf {T} ={frac {a}{cuadrado de {a^{2}+b^{2}}}}}}sin {{frac {s}}{cuadrado de {a^{2}+b^{2}}}}}{mathbf {i}} +{\frac {a}{cuadrado} {a^2}+b^{2}}}}}cos {\frac {s}{cuadrado} {a^2}+b^{2}}}}}{mathbf {j} + {\frac {b} {sqrt {a^2}+b^2}}}}\mathbf {k} }
El vector normal es
d T d s = κ N = – a a 2 + b 2 cos s a 2 + b 2 i + – a a 2 + b 2 sin s a 2 + b 2 j + 0 k {\displaystyle {\frac {d\mathbf {T}} {{dds}}={kappa} {{mathbf {N}} ={frac {a}{a^2}+b^{2}}cos {{frac {s}}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}mathbf {i} + {\frac {a}{a^2}+b^{2}}sin {\frac {s}{sqrt {a^2}+b^{2}}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }
Su curvatura es | d T d s | = κ = | a | a 2 + b 2 {\displaystyle {\bigg |}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} {\bigg |}=\kappa ={frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}
.
El vector normal unitario es
N = – cos s a 2 + b 2 i – sin s a 2 + b 2 j + 0 k {\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{cuadrado {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{cuadrado {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }
El vector binormal es
B = T × N = 1 a 2 + b 2 {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} = {\frac {1}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}{\bigg }}
