En la mecánica newtoniana, para el movimiento armónico simple unidimensional, la ecuación del movimiento, que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con coeficientes constantes, puede obtenerse mediante la 2ª ley de Newton y la ley de Hooke para una masa sobre un muelle.
F n e t = m d 2 x d t 2 = – k x , {\displaystyle F_{mathrm {net} }=m\frac {\mathrm {d}. }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}=-kx,}
donde m es la masa inercial del cuerpo oscilante, x es su desplazamiento desde la posición de equilibrio (o media), y k es una constante (la constante del muelle para una masa sobre un muelle).
Por tanto,
d 2 x d t 2 = – k m x , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}=-{frac {k}{m}}x,}
Al resolver la ecuación diferencial anterior se obtiene una solución que es una función sinusoidal:
x ( t ) = c 1 cos ( ω t ) + c 2 sin ( ω t ) , {\displaystyle x(t)=c_{1}cos \left(\omega t\right)+c_{2}sin \left(\omega t\right),\qquad }
donde ω = k m . {\displaystyle \qquad \omega ={sqrt {\frac {k}{m}}.}.
El significado de las constantes c 1 {\displaystyle c_{1}}
y c 2 {displaystyle c_{2}}
se pueden encontrar fácilmente: poniendo t = 0 {{desde el estilo t=0}}
en la ecuación anterior vemos que x ( 0 ) = c 1 {\displaystyle x(0)=c_{1}}
es la posición inicial de la partícula, c 1 = x 0 {\displaystyle c_{1}=x_{0}}
; tomando la derivada de esa ecuación y evaluando en cero obtenemos que x ˙ ( 0 ) = ω c 2 {{displaystyle {\dot {x}(0)={omega c_{2}}
, por lo que c 2 {displaystyle c_{2}}
es la velocidad inicial de la partícula dividida por la frecuencia angular, c 2 = v 0 ω {{displaystyle c_{2}}={frac {v_{0}}{omega }}
. Así podemos escribir: x ( t ) = x 0 cos ( k m t ) + v 0 k m sin ( k m t ) . {\displaystyle x(t)=x_{0} {cos \}izquierda({\sqrt {\frac {k}{m}}t\ derecha)} +{\frac {v_{0} {sqrt {\frac {k}{m}}}}} {sin \f}izquierda({\sqrt {\frac {k}{m}}t\ derecha)}.
Esta ecuación también se puede escribir de la forma:
x ( t ) = A cos ( ω t – φ ) , {\displaystyle x(t)=Acos \left(\omega t-\varphi \right),}
donde
A = c 1 2 + c 2 2 , tan φ = c 2 c 1 , {\displaystyle A={cuadrado {{c_{1}^{2}+{c_{2}},\qcuadrado \\\\NVarphi ={frac {c_{2}}{c_{1}},
En la solución, c1 y c2 son dos constantes determinadas por las condiciones iniciales (concretamente, la posición inicial en el momento t = 0 es c1, mientras que la velocidad inicial es c2ω), y el origen se fija en la posición de equilibrio. Cada una de estas constantes tiene un significado físico del movimiento: A es la amplitud (desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio), ω = 2πf es la frecuencia angular, y φ es la fase inicial.
Utilizando las técnicas de cálculo, se puede encontrar la velocidad y la aceleración en función del tiempo:
v ( t ) = d x d t = – A ω sin ( ω t – φ ) , {\displaystyle v(t)={frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),
Velocidad:
ω A 2 – x 2 {\displaystyle {\omega }{{sqrt {A^{2}-x^{2}}}}
Velocidad máxima: v=ωA (en el punto de equilibrio)
a ( t ) = d 2 x d t 2 = – A ω 2 cos ( ω t – φ ) . {\displaystyle a(t)={frac {\mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}.
Máxima aceleración: Aω2 (en los puntos extremos)
Por definición, si una masa m está bajo SHM su aceleración es directamente proporcional al desplazamiento.
a ( x ) = – ω 2 x . {\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}
