2.8 Autocorrelación
Así como la correlación mide el grado de relación lineal entre dos variables, la autocorrelación mide la relación lineal entre los valores rezagados de una serie temporal.
Existen varios coeficientes de autocorrelación, correspondientes a cada panel del gráfico de rezagos. Por ejemplo, \(r_{1}} mide la relación entre \(y_{t}} y \(y_{t-1}}), \(r_{2}} mide la relación entre \(y_{t}} y \(y_{t-2}}), y así sucesivamente.
El valor de \(r_{k}} puede escribirse como \ donde \(T\) es la longitud de la serie temporal.
Los nueve primeros coeficientes de autocorrelación para los datos de producción de cerveza se dan en la siguiente tabla.
| (r_1\) | (r_2) | (r_3) | (r_4) | (r_5) | (r_6) | (r_7) | (r_8) | (r_9) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -0.102 | -0,657 | -0,060 | 0,869 | -0,089 | -0,635 | -0,054 | 0,832 | -0.108 |
Estos corresponden a los nueve gráficos de dispersión de la figura 2.13. Los coeficientes de autocorrelación se trazan para mostrar la función de autocorrelación o ACF. El gráfico también se conoce como correlograma.
ggAcf(beer2)
Figura 2.14: Función de autocorrelación de la producción trimestral de cerveza.
En este gráfico:
- \N(r_{4}\Nes mayor que para los otros rezagos. Esto se debe al patrón estacional de los datos: los picos tienden a estar separados por cuatro trimestres y los valles tienden a estar separados por cuatro trimestres.
- \N(r_{2}\N) es más negativo que para los otros rezagos porque los valles tienden a estar dos trimestres detrás de los picos.
- Las líneas azules discontinuas indican si las correlaciones son significativamente diferentes de cero. Éstas se explican en la sección 2.9.
Tendencia y estacionalidad en los gráficos ACF
Cuando los datos tienen una tendencia, las autocorrelaciones de los rezagos pequeños tienden a ser grandes y positivas porque las observaciones cercanas en el tiempo también lo son en tamaño. Por lo tanto, el ACF de las series temporales con tendencia tiende a tener valores positivos que disminuyen lentamente a medida que aumentan los rezagos.
Cuando los datos son estacionales, las autocorrelaciones serán mayores para los rezagos estacionales (en múltiplos de la frecuencia estacional) que para otros rezagos.
Cuando los datos tienen tendencia y son estacionales, se observa una combinación de estos efectos. La serie mensual de demanda de electricidad australiana representada en la figura 2.15 muestra tanto la tendencia como la estacionalidad. Su ACF se muestra en la Figura 2.16.
aelec <- window(elec, start=1980)autoplot(aelec) + xlab("Year") + ylab("GWh")
Figura 2.15: Demanda mensual de electricidad en Australia de 1980 a 1995.
ggAcf(aelec, lag=48)
Figura 2.16: ACF de la demanda mensual de electricidad en Australia.
La lenta disminución de la ACF a medida que aumentan los rezagos se debe a la tendencia, mientras que la forma «festoneada» se debe a la estacionalidad.