Teoría de conjuntos, rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de colecciones bien definidas de objetos, que pueden ser o no de naturaleza matemática, como números o funciones. La teoría es menos valiosa en su aplicación directa a la experiencia ordinaria que como base de una terminología precisa y adaptable para la definición de conceptos matemáticos complejos y sofisticados.
Entre los años 1874 y 1897, el matemático y lógico alemán Georg Cantor creó una teoría de conjuntos abstractos de entidades y la convirtió en una disciplina matemática. Esta teoría surgió de sus investigaciones sobre algunos problemas concretos relativos a ciertos tipos de conjuntos infinitos de números reales. Un conjunto, escribió Cantor, es una colección de objetos definidos y distinguibles de la percepción o el pensamiento concebidos como un todo. Los objetos se denominan elementos o miembros del conjunto.
La teoría tenía el aspecto revolucionario de tratar los conjuntos infinitos como objetos matemáticos que están en igualdad de condiciones con los que se pueden construir en un número finito de pasos. Desde la antigüedad, la mayoría de los matemáticos habían evitado cuidadosamente la introducción en sus argumentos del infinito real (es decir, de conjuntos que contienen una infinidad de objetos concebidos como existentes simultáneamente, al menos en el pensamiento). Como esta actitud persistió hasta casi el final del siglo XIX, la obra de Cantor fue objeto de muchas críticas por considerar que se trataba de ficciones, es decir, que invadía el terreno de los filósofos y violaba los principios de la religión. Sin embargo, una vez que se empezaron a encontrar aplicaciones al análisis, las actitudes empezaron a cambiar y, en la década de 1890, las ideas y los resultados de Cantor fueron ganando aceptación. En 1900, la teoría de conjuntos fue reconocida como una rama distinta de las matemáticas.
Sin embargo, justo en ese momento se descubrieron varias contradicciones en la llamada teoría ingenua de conjuntos. Para eliminar tales problemas, se desarrolló una base axiomática para la teoría de conjuntos análoga a la desarrollada para la geometría elemental. El grado de éxito que se ha alcanzado en este desarrollo, así como la estatura actual de la teoría de conjuntos, ha sido bien expresado en los Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki (iniciados en 1939; «Elementos de Matemática»): «Hoy en día se sabe que es posible, lógicamente hablando, derivar prácticamente toda la matemática conocida a partir de una sola fuente, la Teoría de Conjuntos.»