Esto es un vector:
Un vector tiene magnitud (tamaño) y dirección:
La longitud de la línea muestra su magnitud y la punta de la flecha señala la dirección.
Podemos sumar dos vectores uniéndolos cabeza con cola:
Y no importa el orden en que los sumemos, obtenemos el mismo resultado:
Ejemplo: Un avión está volando, apuntando al Norte, pero hay un viento que viene del Noroeste.
Los dos vectores (la velocidad provocada por la hélice, y la velocidad del viento) dan como resultado una velocidad en tierra ligeramente menor dirigiéndose un poco al Este del Norte.
Si observaras el avión desde el suelo te parecería que se desliza un poco de lado.
¿Has visto alguna vez que eso ocurra? Tal vez hayas visto pájaros luchando contra un fuerte viento que parecen volar de lado. Los vectores ayudan a explicar eso.
La velocidad, la aceleración, la fuerza y muchas otras cosas son vectores.
Restar
También podemos restar un vector de otro:
- Primero invertimos el sentido del vector que queremos restar,
- luego los sumamos como siempre:
a – b
Notación
Un vector suele escribirse en negrita, como a o b.
| Un vector también puede escribirse como las letras de su cabeza y cola con una flecha encima, así: |
 |
Cálculos
Ahora … ¿cómo hacemos los cálculos?
La forma más habitual es descomponer primero los vectores en partes x e y, así:
El vector a se descompone en
los dos vectores ax y ay
(Más adelante vemos cómo hacerlo.)
Sumando vectores
Entonces podemos sumar vectores sumando las partes x y sumando las partes y:
El vector (8, 13) y el vector (26, 7) suman el vector (34, 20)
Ejemplo: suma los vectores a = (8, 13) y b = (26, 7)
c = a + b
c = (8, 13) + (26, 7) = (8+26, 13+7) = (34, 20)
Sustraer vectores
Para restar, primero hay que invertir el vector que queremos restar y luego sumar.
Ejemplo: restar k = (4, 5) a v = (12, 2)
a = v + -k
a = (12, 2) + -(4, 5) = (12, 2) + (-4, -5) = (12-4, 2-5) = (8, -3)
Magnitud de un vector
La magnitud de un vector se muestra con dos barras verticales a cada lado del vector:
|a|
O se puede escribir con doble barra vertical (para no confundirla con el valor absoluto):
|a||
Utilizamos el teorema de Pitágoras para calcularlo:
|a| = √( x2 + y2 )
Ejemplo: ¿cuál es la magnitud del vector b = (6, 8) ?
|b| = √( 62 + 82) = √( 36+64) = √100 = 10
Un vector con magnitud 1 se llama Vector Unitario.
Vector vs Escalar
Un escalar sólo tiene magnitud (tamaño).
Escalar: sólo un número (como 7 o -0,32) … definitivamente no es un vector.
Un vector tiene magnitud y dirección, y a menudo se escribe en negrita, por lo que sabemos que no es un escalar:
- así que c es un vector, tiene magnitud y dirección
- pero c es sólo un valor, como 3 o 12.4
Ejemplo: kb es en realidad el escalar k por el vector b.
Multiplicar un vector por un escalar
Cuando multiplicamos un vector por un escalar se llama «escalar» un vector, porque cambiamos lo grande o pequeño que es el vector.
Ejemplo: multiplicar el vector m = (7, 3) por el escalar 3
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a = 3m = (3×7, 3×3) = (21, 9) |
Sigue apuntando en la misma dirección, pero es 3 veces más largo
(Y ahora ya sabes por qué los números se llaman «escalares», porque «escalan» el vector hacia arriba o hacia abajo.)
Multiplicando un vector por otro vector (Producto de puntos y producto cruzado)
 |
Más de 2 dimensiones
Los vectores también funcionan perfectamente en 3 o más dimensiones:
El vector (1, 4, 5)
Ejemplo: suma los vectores a = (3, 7, 4) y b = (2, 9, 11)
c = a + b
c = (3, 7, 4) + (2, 9, 11) = (3+2, 7+9, 4+11) = (5, 16, 15)
Ejemplo: ¿cuál es la magnitud del vector w = (1, -2, 3) ?
|w| = √( 12 + (-2)2 + 32 ) = √( 1+4+9) = √14
Aquí tienes un ejemplo con 4 dimensiones (¡pero es difícil de dibujar!):
Ejemplo: Restar (1, 2, 3, 4) a (3, 3, 3, 3)
(3, 3, 3, 3) + -(1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (-1,-2,-3,-4)
= (3-1, 3-2, 3-3, 3-4)
= (2, 1, 0, -1)
Magnitud y dirección
Puede que conozcamos la magnitud y la dirección de un vector, pero queramos sus longitudes x e y (o viceversa):
 |
<> |  |
| Vector a en coordenadas polares | Vector a en Coordenadas Cartesianas |
Puedes leer cómo convertirlas en Coordenadas Polares y Cartesianas, pero aquí tienes un resumen rápido:
| De Coordenadas Polares (r,θ) a Coordenadas Cartesianas (x,y) |
De Coordenadas Cartesianas (x,y) a Coordenadas Polares (r,θ) |
|
|---|---|---|
|
Un ejemplo
Sam y Alex tiran de una caja.
- Sam tira con 200 Newtons de fuerza a 60°
- Alex tira con 120 Newtons de fuerza a 45° como se muestra
- x = r × cos( θ ) = 200 × cos(60°) = 200 × 0.5 = 100
- y = r × sin( θ ) = 200 × sin(60°) = 200 × 0,8660 = 173.21
- x = r × cos( θ ) = 120 × cos(-45°) = 120 × 0,7071 = 84,85
- y = r × sin( θ ) = 120 × sin(-45°) = 120 × -0.7071 = -84,85
- r = √ ( x2 + y2 ) = √ ( 184,852 + 88,362 ) = 204.88
- θ = tan-1 ( y / x ) = tan-1 ( 88,36 / 184,85 ) = 25.5°
¿Cuál es la fuerza combinada, y su dirección?
Sumemos los dos vectores cabeza a cola:
Primero convirtamos de polar a cartesiano (a 2 decimales):
Vector de Sam:
Vector de Alex:
Ahora tenemos:
Añádelos:
(100, 173,21) + (84,85, -84,85) = (184.85, 88,36)
Esa respuesta es válida, pero volvamos a convertirla a polar ya que la pregunta estaba en polar:
Y tenemos este resultado (redondeado):
Y se ve así para Sam y Alex:
¡Podrían obtener un mejor resultado si estuvieran hombro con hombro!