Uma rede de um tesseract
Para compreender a natureza do espaço tetradimensional, um dispositivo chamado analogia dimensional é geralmente utilizado. A analogia dimensional é o estudo de como (n – 1) as dimensões se relacionam com n dimensões, e depois inferindo como n dimensões se relacionariam com (n + 1) dimensões.
A analogia dimensional foi utilizada por Edwin Abbott Abbott no livro Flatland, que narra uma história sobre um quadrado que vive num mundo bidimensional, como a superfície de um pedaço de papel. Da perspectiva deste quadrado, um ser tridimensional tem poderes aparentemente divinos, tais como a capacidade de remover objectos de um cofre sem o partir (movendo-os através da terceira dimensão), de ver tudo o que da perspectiva bidimensional está encerrado atrás de paredes, e de permanecer completamente invisível ficando a alguns centímetros de distância na terceira dimensão.
Ao aplicar a analogia dimensional, pode-se inferir que um ser tetradimensional seria capaz de proezas semelhantes da perspectiva tridimensional. Rudy Rucker ilustra isto no seu romance Spaceland, no qual o protagonista encontra seres tetradimensionais que demonstram tais poderes.
Cortes transversaisEditar
Enquanto um objecto tridimensional passa por um plano bidimensional, os seres bidimensionais neste plano apenas observariam uma secção transversal do objecto tridimensional dentro deste plano. Por exemplo, se um balão esférico passasse através de uma folha de papel, os seres no papel veriam primeiro um único ponto, depois um círculo a crescer gradualmente, até atingir o diâmetro do balão, e depois a diminuir novamente, até encolher até um ponto e depois desaparecer. Da mesma forma, se um objecto tetradimensional passasse por uma (hiper)superfície tridimensional, poder-se-ia observar uma secção transversal tridimensional do objecto tetradimensional – por exemplo, uma 4-esfera apareceria primeiro como um ponto, depois como uma esfera em crescimento, com a esfera a encolher depois para um único ponto e depois a desaparecer. Este meio de visualizar aspectos da quarta dimensão foi utilizado no romance Flatland e também em várias obras de Charles Howard Hinton.:11-14
ProjectionsEdit
Uma aplicação útil da analogia dimensional na visualização de dimensões superiores está em projecção. Uma projecção é uma forma de representar um objecto n-dimensional em n – 1 dimensões. Por exemplo, os ecrãs de computador são bidimensionais, e todas as fotografias de pessoas, lugares e coisas tridimensionais são representadas em duas dimensões através da projecção dos objectos sobre uma superfície plana. Ao fazer isto, a dimensão ortogonal ao ecrã (profundidade) é removida e substituída por informação indirecta. A retina do olho é também um conjunto bidimensional de receptores mas o cérebro é capaz de perceber a natureza dos objectos tridimensionais por inferência a partir de informações indirectas (tais como sombreamento, encurtamento de horizonte, visão binocular, etc.). Os artistas usam frequentemente a perspectiva para dar uma ilusão de profundidade tridimensional a imagens bidimensionais. A sombra, lançada por um modelo de grelha fictício de um tesseract rotativo sobre uma superfície plana, como mostrado nas figuras, é também o resultado de projecções.
Similiarmente, os objectos da quarta dimensão podem ser projectados matematicamente para as três dimensões familiares, onde podem ser examinados de forma mais conveniente. Neste caso, a ‘retina’ do olho tetradimensional é um conjunto tridimensional de receptores. Um ser hipotético com tal olho perceberia a natureza dos objectos tetradimensionais ao inferir a profundidade tetradimensional a partir de informação indirecta nas imagens tridimensionais na sua retina.
A projecção em perspectiva de objectos tridimensionais na retina do olho introduz artefactos tais como a premonição, que o cérebro interpreta como profundidade na terceira dimensão. Da mesma forma, a projecção em perspectiva a partir de quatro dimensões produz efeitos de encurtamento de horizonte semelhantes. Ao aplicar a analogia dimensional, pode-se inferir “profundidade” tetradimensional a partir destes efeitos.
Como ilustração deste princípio, a seguinte sequência de imagens compara várias vistas do cubo tridimensional com projecções análogas do tesseract tetradimensional no espaço tridimensional.
| Cube | Tesseract | Description |
|---|---|---|
| A imagem à esquerda é um cubo visto de frente. O ponto de vista análogo do tesseract em 4 dimensões é a projecção em perspectiva célula-primeira, mostrada à direita. Pode-se desenhar uma analogia entre as duas: tal como o cubo projecta-se para um quadrado, o tesseract projecta-se para um cubo.
Nota que as outras 5 faces do cubo não são vistas aqui. Elas são obscurecidas pela face visível. Da mesma forma, as outras 7 células do tesseract não são vistas aqui porque são obscurecidas pela célula visível. |
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| A imagem à esquerda mostra o mesmo cubo visto de lado. O ponto de vista análogo de um tesseract é a projecção em perspectiva face-primeira, mostrada à direita. Tal como a projecção da borda-primeira projecção do cubo consiste em dois trapézios, a projecção da face-primeira projecção do tesseract consiste em duas frustrações.
A borda mais próxima do cubo neste ponto de vista é a que se encontra entre as faces vermelha e verde. Da mesma forma, a face mais próxima do tesseract é a que se encontra entre as células vermelhas e verdes. |
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| À esquerda está o cubo visto de canto-primeiro. Isto é análogo à projecção do tesseract na perspectiva do canto-primeiro, mostrada à direita. Tal como a projecção vértice-primeiro do cubo consiste em 3 deltoides em redor de um vértice, a projecção vértice-primeiro do tesseract consiste em 3 volumes hexaédricos em redor de uma borda. Tal como o vértice mais próximo do cubo é aquele em que as três faces se encontram, também a borda mais próxima do tesseract é aquela no centro do volume de projecção, onde as três células se encontram. | ||
| > Uma analogia diferente pode ser desenhada entre a projecção borda-primeiro do tesseract e a projecção borda-primeiro do cubo. A projecção borda-primeira do cubo tem dois trapézios à volta de uma borda, enquanto que o tesseract tem três volumes hexaédricos à volta de uma borda. | ||
| À esquerda está o cubo visto canto-primeiro. A projecção do tesseract em perspectiva vértice-primeiro é mostrada à direita. A projecção do vértice-primeiro do cubo tem três tetragões à volta de um vértice, mas a projecção do vértice-primeiro do tesseract tem quatro volumes hexaédricos à volta de um vértice. Tal como o canto mais próximo do cubo é o que se encontra no centro da imagem, também o vértice mais próximo do tesseract não se encontra no limite do volume projectado, mas no seu centro no interior, onde todas as quatro células se encontram.
Nota que apenas três faces das 6 faces do cubo podem ser vistas aqui, porque as outras 3 se encontram atrás destas três faces, no lado oposto do cubo. Da mesma forma, apenas 4 das 8 células do tesseract podem ser vistas aqui; as restantes 4 encontram-se atrás destas 4, na quarta direcção, no lado mais afastado do tesseract. |
ShadowsEdit
Um conceito intimamente relacionado com a projecção é a fundição de sombras.
Se uma luz é brilhada num objecto tridimensional, uma sombra bidimensional é fundida. Por analogia dimensional, a luz brilhou num objecto bidimensional num mundo bidimensional lançaria uma sombra unidimensional, e a luz num objecto unidimensional num mundo unidimensional lançaria uma sombra zero-dimensional, ou seja, um ponto de não-luz. Indo por outro lado, pode-se inferir que a luz brilhou num objecto tetradimensional num mundo tetradimensional lançaria uma sombra tridimensional.
Se a estrutura de fio de um cubo for iluminada por cima, a sombra resultante numa superfície bidimensional plana é um quadrado dentro de um quadrado com os cantos correspondentes ligados. Da mesma forma, se a estrutura de arame de um tesseract fosse acesa “de cima” (na quarta dimensão), a sua sombra seria a de um cubo tridimensional dentro de outro cubo tridimensional suspenso no ar (uma superfície “plana” de uma perspectiva tetradimensional). (Note-se que, tecnicamente, a representação visual aqui mostrada é na realidade uma imagem bidimensional da sombra tridimensional da figura tetradimensional da estrutura de arame)
Volumes de delimitaçãoEditar
Analogia dimensional também ajuda a inferir propriedades básicas de objectos em dimensões mais elevadas. Por exemplo, os objectos bidimensionais são delimitados por fronteiras unidimensionais: um quadrado é delimitado por quatro arestas. Os objectos tridimensionais são delimitados por superfícies bidimensionais: um cubo é delimitado por 6 faces quadradas. Aplicando a analogia dimensional, pode-se inferir que um cubo tetradimensional, conhecido como tesseract, é delimitado por volumes tridimensionais. E de facto, é este o caso: a matemática mostra que o tesseract é delimitado por 8 cubos. Saber isto é fundamental para compreender como interpretar uma projecção tridimensional do tesseract. Os limites do projecto tesseract aos volumes na imagem, e não apenas às superfícies bidimensionais.
Âmbito visualEditar
As pessoas têm uma auto-percepção espacial como seres num espaço tridimensional, mas estão visualmente restritas a uma dimensão a menos: o olho vê o mundo como uma projecção a duas dimensões, na superfície da retina. Assumindo que um ser tetradimensional fosse capaz de ver o mundo em projecções a uma hipersuperfície, também apenas uma dimensão a menos, ou seja, a três dimensões, seria capaz de ver, por exemplo, todos os seis lados de uma caixa opaca simultaneamente, e de facto, o que está dentro da caixa ao mesmo tempo, tal como as pessoas podem ver os quatro lados e simultaneamente o interior de um rectângulo sobre um pedaço de papel. O ser seria capaz de discernir todos os pontos num subespaço tridimensional simultaneamente, incluindo a estrutura interior de objectos sólidos tridimensionais, coisas obscurecidas do ponto de vista humano em três dimensões em projecções bidimensionais. Os cérebros recebem imagens em duas dimensões e usam o raciocínio para ajudar a imaginar objectos tridimensionais.